Équilibre d'un fluide à symétrie sphérique, modélisation du Soleil

(10 minutes de préparation)

La Terre décrit autour du Soleil, assimilé à une sphère de centre O et de rayon \(R_S\) et vu depuis la Terre sous un diamètre angulaire \(2\alpha_S=32'\), une orbite pratiquement circulaire de rayon \(D=149,5\) millions de km en 1 an.

Le Soleil est modélisé par un fluide gazeux, supposé parfait, de masse volumique constante \(\mu_S\).

Données :

  • Constante de gravitation universelle : \(G=6,67.10^{-11}\;SI\)

  • Constante des gaz parfaits : \(R=8,32\;J.K^{-1}\)

  • Masse molaire du fluide solaire : \(M=1,25\;g\)

Question

1. Calculer le rayon \(R_S\) du Soleil et sa masse volumique moyenne \(\mu_S\).

Question

2. Calculer le gradient \(dP/dr\) de la pression du fluide solaire en tout point M à la distance \(r\) du centre du Soleil, à l'aide des constantes \(\mu_S\) et \(G\).

Question

3. Établir la loi des pressions \(P(r)\) en M en supposant nulle la pression au bord du Soleil.

Calculer la pression \(P_0\) et la température \(T_0\) au centre du Soleil.

Question

4. Calculer l'énergie potentielle de gravitation du Soleil, en fonction de \(G\), \(\mu_S\) et \(R_S\), puis en fonction de la masse du Soleil \(M_S\) et de son rayon \(R_S\).