Masse de l'atmosphère terrestre
(10 minutes de préparation)
On considère le modèle de l'atmosphère isotherme.
La pression à l'altitude z est donnée par : (isotherme à 0 °C)
\(P(z)=P_0exp(-z/h)\)
Avec \(h=8,0 \;km\).
Le rayon terrestre est \(R_T=6400 \;km\).
Question
Estimer littéralement puis numériquement la masse matm de l'atmosphère terrestre en sachant que son épaisseur est grande devant h et petite devant le rayon terrestre \(R_T\).
Remarque :
Cet exercice peut être traité de manière plus "ludique", sous forme de problème "ouvert". Voir la rubrique "Résolution de problèmes ouverts".
Solution
Le modèle de l'atmosphère terrestre isotherme conduit à :
\(P(z) = {P_0}{e^{ - z/h}}\)
Avec :
\(h = \frac{{R{T_0}}}{{Mg}}\)
La masse volumique vaut, d'après la loi des GP :
\(\rho = \frac{{PM}}{{R{T_0}}}\)
D'où une relation équivalente pour la masse volumique :
\(\rho (z) = {\rho _0}{e^{ - z/h}}\)
Avec :
\(\rho_0 = \frac{{P_0M}}{{R{T_0}}}\)
Soit H l'épaisseur de l'atmosphère (avec H >> h), alors la masse matm est donnée par :
\({m_{atm}} = \int_0^H {4\pi {{({R_T} + z)}^2}{\rho _0}{e^{ - z/h}}dz}\)
On suppose :
\({R_T} + z \approx {R_T}\;et\;H \to \infty\)
Donc :
\({m_{atm}} = \int_0^\infty {4\pi R_T^2{\rho _0}{e^{ - z/h}}dz} = 4\pi R_T^2{\rho _0}\int_0^\infty {{e^{ - z/h}}dz} = 4\pi R_T^2{\rho _0}h\)
On obtient une masse équivalente à une atmosphère de masse volumique moyenne ρ0 et d'épaisseur h << RT.
On peut aussi remarquer, en utilisant les expressions de \(\rho_0\) et de \(h\) que :
\(m_{atm}=\frac{4\pi R_T^2P_0}{g}\)
On voit alors que la force de pression sur la surface de la Terre (\(4\pi R_T^2 P_0\)) compense le poids \(m_{atm}g\) de la colonne d'air située au dessus.