Réflexion d'une onde EM sur un métal non parfait
(20 minutes de préparation)
Un conducteur ohmique de conductivité \(\gamma\) occupe le demi-espace \(x>0\), le demi-espace \(x<0\) étant vide.
Une onde incidente de la forme :
\(\underline {\vec E}_i=E_0exp(j(\omega (t-x/c))\vec u_z\)
se propage dans le vide.
Elle donne naissance à une onde transmise de la forme (voir le cours sur l'effet de peau) :
\(\underline {\vec E}_{tr}=\underline t E_0exp(j(\omega t-kx)\vec u_z\)
Avec :
\(k=\frac{1-j}{\delta}\;\;\;\;\;et\;\;\;\;\;\delta=\sqrt{\frac{2}{\mu_0\gamma\omega}}\)
Et à une onde réfléchie de la forme :
\(\underline {\vec E}_r=\underline r E_0exp(j(\omega (t+x/c))\vec u_z\)
Question
1. Déterminer les champs magnétiques correspondants.
Question
2. On suppose qu'il n'y a pas de courants superficiels. En écrivant la continuité des champs électriques et magnétiques, établir l'expression de \(\underline t\) en fonction de \(\alpha = \omega\delta/c\).
Vérifier que, pour \(\alpha<<1\) (ce que l'on supposera dans la suite), on a :
\(\underline t=\alpha(1+j)\)
en limitant les calculs à l'ordre 1 en \(\alpha\).
Question
3. En réalité, le conducteur a une surface \(S\) dans le plan \(x=0\).
Calculer la moyenne temporelle du flux du vecteur de Poynting en \(x=0^+\). Que représente cette grandeur ?
Montrer que la moyenne temporelle de la puissance dissipée par effet Joule dans un élément de volume \(Sdx\) du conducteur vaut :
\(\left\langle {dP_J } \right\rangle = \gamma \alpha ^2 E_0^2 \exp ( - 2x/\delta )Sdx\)
En déduire la moyenne temporelle de la puissance dissipée par effet Joule dans tout le conducteur.
Comparer avec le résultat de la question précédente.