Réflexion d'une onde sur un métal "parfait", pression de radiation (calcul ondulatoire)
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Une OPPM, à polarisation rectiligne, se propage dans le vide dans la direction (Ox), dans le sens des x croissants (on suppose E0 > 0) :
\(\underline {\vec E} _i = E_0 e^{j(\omega t - kx)} \vec e_y\)
En x = 0, elle arrive sur la surface plane d'un miroir métallique parfaitement conducteur, dans lequel les champs \(\vec E\) et \(\vec B\) sont nuls, et donne naissance à une onde réfléchie se propageant dans le sens des x décroissants :
\(\underline {\vec E} _r = E_{0r} e^{j(\omega t + kx)} \vec e_y\)
Question
En écrivant les conditions aux limites que doivent vérifier les champs \(\vec E\) et \(\vec B\) en x = 0, déterminer :
L'amplitude E0r du champ réfléchi en fonction de E0.
La charge surfacique \(\sigma\) et le courant surfacique \(\vec j_s\) qui peuvent se trouver sur la surface métallique en x = 0.
Indice
Quelles sont les conditions de passage d'une onde EM à la traversée d'un métal parfait ?
Solution
La composante tangentielle du champ électrique doit être continue, par conséquent :
\({E_{0r}} = - {E_0}\)
La condition de passage pour le champ électrique :
\({\vec E_{metal}} - {\vec E_{vide}} = - {\vec E_{vide}} = \frac{\sigma }{{{\varepsilon _0}}}{\vec u_x}\)
Montre que \(\sigma =0\).
La condition de passage pour le champ magnétique donne :
\({\vec B_{metal}} - {B_{vide}} = - {\vec B_{vide}} = {\mu _0}{\vec j_s} \wedge {\vec u_x}\)
Le champ magnétique incident est :
\({\underline {\vec B} _i} = \frac{{{{\vec e}_x}}}{c} \wedge {\underline {\vec E} _i} = \frac{{{{\vec e}_x}}}{c} \wedge {E_0}{e^{j(\omega t - kx)}}{\vec e_y} = \frac{{{E_0}}}{c}{e^{j(\omega t - kx)}}{\vec e_z}\)
Le champ magnétique réfléchi est :
\({\underline {\vec B} _r} = - \frac{{{{\vec e}_x}}}{c} \wedge {\underline {\vec E} _r} = \frac{{{{\vec e}_x}}}{c} \wedge {E_0}{e^{j(\omega t + kx)}}{\vec e_y} = \frac{{{E_0}}}{c}{e^{j(\omega t + kx)}}{\vec e_z}\)
Le champ résultant sur le métal vaut :
\({\vec B_{metal}} = {({\underline {\vec B} _i} + {\underline {\vec B} _r})_{metal}} = 2\frac{{{E_0}}}{c}{e^{j\omega t}}{\vec e_z}\)
On en déduit :
\({\vec B_{metal}} = 2\frac{{{E_0}}}{c}{e^{j\omega t}}{\vec e_z} = - {\mu _0}{\vec j_s} \wedge {\vec u_x}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;soit\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;{\vec j_s} = 2\frac{{{E_0}}}{{{\mu _0}c}}{e^{j\omega t}}{\vec e_y} = 2{\varepsilon _0}c{E_0}{e^{j\omega t}}{\vec e_y}\)
En notation réelle :
\({\vec j_s} = 2{\varepsilon _0}c{E_0}\cos (t){\vec e_y}\)
Question
Déterminer le champ électromagnétique résultant de l'onde incidente et de l'onde réfléchie dans le demi-espace x < 0.
Caractériser brièvement l'onde résultante.
Calculer la valeur moyenne de son vecteur de Poynting.
Indice
Le champ total est la somme du champ initial et réfléchi.
Qu'est ce qu'une onde stationnaire ?
Solution
Le champ électrique résultant est :
\(\vec E = {E_0}{e^{j(\omega t - kx)}}{\vec e_y} - {E_0}{e^{j(\omega t + kx)}}{\vec e_y} = - 2j{E_0}\sin (kx){e^{j\omega t}}{\vec e_y}\)
Soit, en notation réelle :
\(\vec E = 2{E_0}\sin (kx)\sin (\omega t){\vec e_y}\)
De même, pour le champ magnétique :
\(\vec B = {\underline {\vec B} _i} + {\underline {\vec B} _r} = \frac{{{E_0}}}{c}{e^{j(\omega t - kx)}}{\vec e_z} + \frac{{{E_0}}}{c}{e^{j(\omega t + kx)}}{\vec e_z} = 2\frac{{{E_0}}}{c}\cos (kx){e^{j\omega t}}{\vec e_z}\)
Soit, en notation réelle :
\(\vec B = 2\frac{{{E_0}}}{c}\cos (kx)\sin (\omega t){\vec e_z}\)
Ce type de solutions, appelé onde plane stationnaire, est très différent d'une onde plane progressive : les dépendances spatiale et temporelle interviennent séparément ; la dépendance spatiale intervient dans l'amplitude de l'oscillation temporelle et non plus dans la phase, de telle sorte que tous les points de la corde vibrent en phase ou en opposition de phase.
En certains points (appelés nœuds de vibrations), le champ est toujours nul.
En d'autres points (appelés ventres de vibrations), l'amplitude de vibration est maximale.
Question
Le champ électromagnétique exerce sur une surface dS du miroir une force \(\vec {dF}\) dont l'expression est, en notation réelle :
\(d\vec F = \frac{1}{2}\left( {\sigma \vec E + \vec j_s \wedge \vec B} \right)dS\)
Proposer une explication de la présence du facteur \(1/2\).
En déduire que l'onde exerce une pression P sur le miroir dont on calculera la valeur moyenne <P> en fonction de la densité volumique moyenne d'énergie <ei> de l'onde incidente, puis en fonction de la densité volumique d'énergie totale <etotale> au voisinage immédiat du plan (P est appelée pression de radiation).
Calculer <P> pour une onde incidente fournie par un laser de puissance moyenne <Wi>=3 mW, dont la section droite est s=0,4 mm2.
Solution
Le champ électromagnétique exerce sur une surface dS du miroir une force \(d\vec F\) dont l'expression est, en notation réelle : (noter que \(\sigma =0\))
\(d\vec F = \frac{1}{2}{\vec j_s} \wedge \vec BdS\)
En effet, la surface dS est soumise à l'action du champ magnétique qui lui est extérieur ; il ne faut donc pas prendre en compte le champ magnétique créé par cette surface dS chargée et parcourue par des courants volumiques.
Le facteur 1/2 prend en compte cette remarque.
La valeur moyenne de la force devient :
\(\left\langle {d\vec F} \right\rangle = \frac{1}{2}{\mathop{\rm Re}\nolimits} \left( {\frac{1}{2}{{\vec j}_s} \wedge {{\vec B}^*}dS} \right) = \frac{1}{4}(2{\varepsilon _0}c{E_0}{e^{j\omega t}}{\vec e_y}) \wedge (2\frac{{{E_0}}}{c}{e^{ - j\omega t}}{\vec e_z})dS = {\varepsilon _0}E_0^2{\vec e_z}dS\)
La pression de radiation moyenne est alors :
\(\left\langle P \right\rangle = {\varepsilon _0}E_0^2\)
La densité d'énergie volumique est :
\({e_v} = \frac{1}{2}{\varepsilon _0}{E^2} + \frac{1}{2}\frac{{{B^2}}}{{{\mu _0}}}\)
Dont la valeur moyenne est :
\(\left\langle {{e_v}} \right\rangle = {\varepsilon _0}E_0^2\)
On en déduit :
\(\left\langle P \right\rangle = {\varepsilon _0}E_0^2 = \left\langle {{e_v}} \right\rangle\)