Écoulement autour d'une aile d'avion
On considère une aile d'avion cylindrique d'axe horizontal (Oz) et de rayon R, en mouvement rectiligne uniforme à vitesse \(U\vec u_x\) dans le référentiel terrestre (R0).
Loin de l'aile, l'air est au repos et la pression est constante (notée \(P_{\infty}\)).
Il est commode pour exprimer les conditions aux limites sur l'aile de traiter le problème dans le référentiel (R) lié à l'avion, où l'on note \(\vec v\) le champ eulérien des vitesses.
Loin de l'aile, la loi de composition des vitesses donne :
\(\vec v(\infty ) = v_0 (\infty ) - \vec v_e = \vec 0 - U\;\vec u_x = - U\;\vec u_x\)
Hypothèses :
L'écoulement est stationnaire.
L'écoulement est incompressible ; ce choix est convenable bien que l'air soit un fluide compressible si l'on suppose que l'avion est subsonique (Voir rappels de cours sur le théorème de Bernoulli).
L'écoulement est irrotationnel.
L'écoulement est plan et invariant par translation le long de l'axe de l'aile (on néglige les effets de bords) et on écrit :
\(\vec v(M) = v_r (r,\theta )\;\vec u_r + v_\theta (r,\theta )\;\vec u_\theta\)
Recherche du champ des vitesses :
L'écoulement étant irrotationnel (\(\overrightarrow {rot} \;\vec v = \vec 0\) ), il existe un potentiel des vitesses \(\Phi\) tel que :
\(\vec v = \overrightarrow {grad} \;\Phi\)
L'écoulement étant incompressible, \(div\vec v=0\), soit \(\Delta \Phi = 0\), le potentiel des vitesses vérifie l'équation de Laplace.
Étant donné l'invariance par translation selon (Oz), le potentiel des vitesses est de la forme \(\Phi (r,\theta)\).
La solution générale de l'équation de Laplace est dans ce cas (résultat mathématique admis) :
\(\Phi (r,\theta ) = \alpha _0 \ln \;r + \beta _0 + \sum\limits_{n = 1}^\infty {} (\alpha _n r^n + \beta _n r^{ - n} )\;\cos (n\theta ) + \sum\limits_{n = 1}^\infty {} (\gamma _n r^n + \delta _n r^{ - n} )\;\sin (n\theta )\)
Où les \(\alpha _n ,\;\beta _n ,\;\gamma _n \;et\;\delta _n\) sont des constantes quelconques.
On reconnaît dans cette expression un développement en série de Fourier du potentiel des vitesses à r fixé.
Le problème étant symétrique par rapport au plan médiateur de l'aile \(y=0\), ce développement est pair en \(\theta\) et les termes en sinus sont nuls :
\(\Phi (r,\theta ) = \alpha _0 \ln \;r + \beta _0 + \sum\limits_{n = 1}^\infty {} (\alpha _n r^n + \beta _n r^{ - n} )\;\cos (n\theta )\)
A l'infini :
\(\vec v = - U\;\vec u_x = \overrightarrow {grad} ( - Ux) = \overrightarrow {grad} ( - Ur\cos \theta )\)
Soit \( \Phi = - Ur\cos \theta\)
On en déduit :
\(\alpha _1 = - U\;\;\;\;\;;\;\;\;\;\;\beta _0 = 0\;\;\;\;\;;\;\;\;\;\;\alpha _n = 0\;\;\;\;\;(pour\;tout\;n \ne 1)\)
Ainsi :
\(\Phi (r,\theta ) = - Ur\cos \theta + \sum\limits_{n = 1}^\infty {} (\beta _n r^{ - n} )\;\cos (n\theta )\)
Sur l'aile, la coordonnée normale (la vitesse radiale) de la vitesse doit s'annuler :
\(v_r (R,\theta ) = \left( {\frac{{\partial \Phi }}{{\partial r}}} \right)_{(R,\theta )} = 0\)
Or :
\(\frac{{\partial \Phi }}{{\partial r}} = - U\cos \theta + \sum\limits_{n = 1}^\infty {} ( - n\beta _n r^{ - n - 1} )\;\cos (n\theta )\)
Par conséquent :
\(- \left( {U + \frac{{\beta _1 }}{{R^2 }}} \right)\cos \theta - \sum\limits_{n = 2}^\infty {} n\beta _n R^{ - n - 1} \;\cos (n\theta ) = 0\)
D'où :
\(\beta _1 = - UR^2 \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;et\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\beta _{n > 2} = 0\)
Finalement :
\(\Phi (r,\theta ) = - U\left( {r + \frac{{R^2 }}{r}} \right)\;\cos \theta\)
On en déduit les coordonnées du champ des vitesses :
\(\left\{ \begin{array}{l}v_r = \frac{{\partial \Phi }}{{\partial r}} = - U\left( {1 - \frac{{R^2 }}{{r^2 }}} \right)\;\cos \theta \\v_\theta = \frac{1}{r}\frac{{\partial \Phi }}{{\partial \theta }} = U\left( {1 + \frac{{R^2 }}{{r^2 }}} \right)\;\sin \theta \\\end{array} \right.\)
VIDÉO :
