Un MOOC pour la physique : mécanique des fluides

Un fluide incompressible de masse volumique \(\rho\) et de viscosité \(\eta\), immobile entre deux plans horizontaux, est mis en mouvement par le seul déplacement du plan supérieur en \(z=h\) à vitesse constante \(V\vec u_x\).

On cherche un écoulement laminaire de la forme :

\(\vec v=v(z,t)\vec u_x\)

La vitesse ne dépend pas de y (invariance par translation selon Oy) et est indépendante de x car l'écoulement est incompressible.

Vu le champ des vitesses choisi, l'accélération convective est nulle.

L'équation de Navier - Stokes devient alors, en projection selon (Oz) : (et en l'absence de gradient de pression selon (Ox))

\(\rho \frac{{\partial v}}{{\partial t}} = \eta \frac{{\partial ^2 v}}{{\partial z^2 }}{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} soit{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} \frac{{\partial v}}{{\partial t}} = \nu \frac{{\partial ^2 v}}{{\partial z^2 }}\)

On obtient une équation de diffusion.

La mise en mouvement du fluide par la translation de la plaque supérieure atteint la profondeur \(h\) en un temps \(\tau\), ordre de grandeur de la durée du régime transitoire, donné par \(h=\sqrt{\nu \tau}\).

Pour \(h=1\;cm\) et avec \(\nu =1,0.10^{-6}m^2.s^{-1}\), on trouve \(\tau=100\;s\).

Une fois le régime transitoire passé, la résolution de l'équation de diffusion donne directement :

\(v(z)=\frac {z}{h}V\)