Propagation des incertitudes
Fondamental : Cas de la somme m=x+y
On souhaite évaluer l'incertitude élargie sur la somme :
\(m=x+y\)
connaissant les incertitudes élargies sur \(x\) et \(y\).
On montre que :
\(\Delta m=\sqrt{{\Delta x}^2+{\Delta y}^2}\)
Les incertitudes s'ajoutent en quadrature.
Remarques :
L'addition en quadrature présente l'avantage de ne pas surestimer l'incertitude.
Ce résultat est vrai si les variables \(x\) et \(y\) sont indépendantes.
Fondamental : Cas général : m=f(x,y)
On souhaite évaluer l'incertitude élargie sur la pulsation de résonance d'un circuit série RLC :
\(\omega_0=\frac{1}{\sqrt{LC}}\)
connaissant les incertitudes élargies \(\Delta C\) et \(\Delta L\) sur les valeurs de la capacité et de l'inductance.
D'une manière générale, on souhaite évaluer l'incertitude sur la grandeur \(m\) reliée à \(x\) et \(y\) par une loi générale :
\(m=f(x,y)\)
Si les variables \(x\) et \(y\) sont indépendantes, on montre que :
\(\Delta m = \sqrt {{{\left| {\frac{{\partial f}}{{\partial x}}} \right|}^2}{{(\Delta x)}^2} + {{\left| {\frac{{\partial f}}{{\partial y}}} \right|}^2}{{(\Delta y)}^2} + ...}\)
Exemple de la pulsation de résonance :
On calcule les dérivées partielles :
\(\frac{{\partial (1/\sqrt {LC} )}}{{\partial L}} = - \frac{1}{{\sqrt C }}\frac{1}{{2{L^{3/2}}}}\;\;\;\;\;\;\;et\;\;\;\;\;\;\;\frac{{\partial (1/\sqrt {LC} )}}{{\partial C}} = - \frac{1}{{\sqrt L }}\frac{1}{{2{C^{3/2}}}}\)
Par conséquent :
\(\Delta {\omega _0} = \sqrt {\left( {\frac{1}{C}\frac{1}{{4{L^3}}}} \right){{(\Delta L)}^2} + \left( {\frac{1}{L}\frac{1}{{4{C^3}}}} \right){{(\Delta C)}^2}} = \frac{{{\omega _0}}}{2}\sqrt {{{\left( {\frac{{\Delta L}}{L}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{\Delta C}}{C}} \right)}^2}}\)
Ou encore :
\(\frac{{\Delta {\omega _0}}}{{{\omega _0}}} = \frac{1}{2}\sqrt {{{\left( {\frac{{\Delta L}}{L}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{\Delta C}}{C}} \right)}^2}}\)
Les incertitudes \(\frac{{\Delta {\omega _0}}}{{{\omega _0}}}\), \(\Delta L/L\) et \(\Delta C/C\) sont appelées incertitudes relatives.
Utilisation de la dérivée logarithmique :
On peut écrire :
\(ln(\omega_0)=-\frac{1}{2}(lnL+lnC)\)
Et différentier :
\(\frac{d\omega_0}{\omega_0}=-\frac{1}{2}(\frac{dL}{L}+\frac{dC}{C})\)
On en déduit alors directement :
\(\frac{{\Delta {\omega _0}}}{{{\omega _0}}} = \frac{1}{2}\sqrt {{{\left( {\frac{{\Delta L}}{L}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{\Delta C}}{C}} \right)}^2}}\)
Fondamental : Généralisation de la dérivée logarithmique
La formule précédente peut se généraliser à tout produit ou quotient de la forme :
\(m=Ax_1^{a_1}x_2^{a_2}...x_n^{a_n}\)
où A est une constante.
L'incertitude relative \(\Delta m/m\) vaut :
\(\frac{{\Delta m}}{m} = \sqrt {{{\left( {{a_1}\frac{{\Delta {x_1}}}{{{x_1}}}} \right)}^2} + {{\left( {{a_2}\frac{{\Delta {x_2}}}{{{x_2}}}} \right)}^2} + ....{{\left( {{a_n}\frac{{\Delta {x_n}}}{{{x_n}}}} \right)}^2}}\)
Exemple :
Lors de l'expérience des fentes d'Young, on a mesuré la distance \(D\) entre les fentes et l'écran :
\(D=2,25\pm 0,01\;m\)
La longueur d'onde choisie est :
\(\lambda_0=632\pm1\;nm\)
L'interfrange mesuré à l'aide d'un viseur de Fresnel muni de son vernier est :
\(i=1,31\pm0,02\;cm\)
On souhaite en déduire la distance \(a\) entre les fentes et son incertitude élargie associée.
La valeur choisie pour \(a\) est donnée par :
\(a=\frac{\lambda_0D}{i}=108,549\;\mu m\)
L'incertitude relative est donnée par :
\(\frac{{\Delta a}}{a} = \sqrt {{{\left( {\frac{{\Delta D}}{D}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{\Delta i}}{i}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{\Delta {\lambda _0}}}{{{\lambda _0}}}} \right)}^2}}\)
On trouve :
\(\frac{\Delta a}{a}\approx0,015\)
Et ainsi :
\(\Delta a=1,62\;\mu m\approx 2_;\mu m\)
Finalement :
\(a=108,5\pm2\;\mu m\)