Viscosimètre à écoulement
Consacrer 20 minutes de préparation à cet exercice.
Puis, si vous manquez d'idée pour débuter, consultez l'indice fourni et recommencez à chercher.
Une solution détaillée vous est ensuite proposée.
Un liquide visqueux, incompressible, s'écoule lentement d'un récipient cylindrique de diamètre D dans un tube capillaire horizontal de diamètre d et de longueur L.
On négligera les effets dus aux extrémités du tube.
Question
Peut-on considérer l'écoulement comme quasi-permanent ? Justifier. En déduire l'expression du débit volumique DV en fonction de h.
Solution
On se place dans l'ARQS. On a un écoulement de Poiseuille cylindrique (voir rappels de cours) :
\(D_v = \frac{{\pi d^4 }}{{128\eta }}\frac{{P_e - P_s }}{L}\)
Le liquide est pratiquement au repos dans le récipient de diamètre D. On peut donc écrire la relation de la statique des fluides :
\(P_s = P_0\) et \(P_e = P_0 + \mu gh\)
Par conséquent :
\(D_v = \frac{{\pi d^4 }}{{128\nu }}\frac{{gh}}{L}\)
Avec \(\nu = \frac{\eta }{\mu }\).
Question
A partir de l'équation de continuité, établir une équation différentielle satisfaite par h(t). La résoudre pour la condition initiale h(0) = h0.
Solution
L'écoulement étant incompressible, il y a conservation du débit volumique :
\(- S\frac{{dh}}{{dt}} = D_v\)
Soit :
\(- \frac{{\pi D^2 }}{4}\frac{{dh}}{{dt}} = \frac{{\pi d^4 }}{{128\nu }}\frac{{gh}}{L}\)
On aboutit ainsi à l'équation différentielle :
\(\frac{{dh}}{{dt}} + \frac{{gd^4 }}{{32\nu LD^2 }}h = 0\)
Dont la solution est :
\(h(t) = h_0 e^{ - t/\tau }\)
Avec :
\(\tau =\frac{32\nu LD^2}{{{gd^4 } }}\)
Question
Il a fallu une durée t0 = 75 min pour que le niveau du liquide passe de la hauteur h0 = 5 cm à la hauteur h1 = 2,5 cm. Déterminer la viscosité cinématique du liquide.
On donne : D = 5 cm, L = 40 cm, d = 1 mm et g = 9,8 m.s-2
Solution
L'AN donne :\( \nu = 2.10^{ - 6} m^2 .s^{ - 1}\)