Écoulement de Poiseuille d'un fluide visqueux ("Classe inversée", PC*)

On s'intéresse à l'écoulement d'un fluide visqueux dans une conduite cylindrique horizontale de rayon R et de longueur L, en régime stationnaire, c'est-à-dire indépendant du temps.

Le nombre de Reynolds de l'écoulement est supposé être plus petit que 2 000. L'écoulement est alors laminaire et les lignes de courant sont parallèles à l'axe du cylindre, les tranches de fluide glissant progressivement les unes sur les autres sans se croiser.

Pour un fluide visqueux newtonien, la force de viscosité F est donnée par :

\(F = \eta \frac{{dv(r)}}{{dr}}2\pi rL\)

Le profil des vitesses est la courbe \(v(r)\) dans un plan perpendiculaire à l'axe de la canalisation.

Avec :

\(v(r) = \frac{{P_e - P_s }}{{4\eta L}}(R^2 - r^2 )\)

Ce profil est une parabole. La vitesse est maximale au milieu de la canalisation et nulle sur les bords (conditions aux limites pour un fluide visqueux, qui adhère aux parois).

• Débit volumique :

  On appelle débit volumique \(D_v\) à travers une surface (S) orientée, le volume de fluide qui traverse (S) par unité de temps, compté positivement dans le sens du vecteur normal à la surface et négativement dans le cas contraire.

  Ce débit vaut :

  \(D_v=\iint_{(S)}\vec v.\vec n dS\)

• Débit massique :

  Le débit massique \(D_m\) correspond à la masse de fluide qui traverse (S) par unité de temps, compté positivement dans le sens du vecteur normal à la surface et négativement dans le cas contraire :

  \(D_m=\iint_{(S)} \mu \vec v.\vec n dS = \iint_{(S)}\vec j .\vec n dS\)

  où \(\vec j=\mu \vec v\) est le vecteur densité de courant ou vecteur densité de flux de masse de l'écoulement.

• Si le fluide est incompressible et homogène, donc si la masse volumique est constante et indépendante du point, alors :

  \(D_m=\mu D_v\)

  On peut remarquer que ces débits sont les équivalents de l'intensité électrique, du flux thermique et du débit de particules (vu en diffusion).

• Le débit volumique dans la conduite est le flux du vecteur vitesse à travers une section transverse quelconque, soit, en prenant comme surface élémentaire celle comprise entre deux cercles de rayons r et r+dr :

  \(D_v = \int_0^R {v(r)2\pi rdr} = \int_0^R {\frac{{P_e - P_s }}{{4\eta L}}(R^2 - r^2 )2\pi rdr}\)

  D'où l'expression du débit volumique :

  \(D_v = \frac{{\pi R^4 }}{{8\eta L}}(P_e - P_s )\)

• Loi de Poiseuille :

  La différence de pression Pe- Ps est le « moteur » de l'écoulement. Encore appelée « perte de charge », elle est proportionnelle au débit volumique :

  \(P_e - P_s = \Delta P = \frac{{8\eta L}}{{\pi R^4 }}D_v\)

La vitesse moyenne est définie par :

\(V_{moy}=\frac{D_v}{\pi R^2}=\frac{{ R^2 }}{{8\eta L}}(P_e - P_s )\)

• Résistance électrique :

  \(V_1 - V_2 = \Delta V = RI\) avec \( {R = \frac{{\rho L}}{{\pi R^2 }}}\)

• Résistance thermique :

  \(T_1 - T_2 = \Delta T = R_{th}\Phi\) avec \( {R = \frac{{L}}{{\lambda S}}}\)

• Résistance hydraulique :

  \(P_e - P_s = \Delta P = R_{hyd} D_v\) avec \( {R_{hyd} = \frac{{8\eta L}}{{\pi R^4 }}}\)

Les conclusions seront les mêmes que ce soit pour un mouvement d'électrons, un transfert de chaleur ou un mouvement de liquide visqueux : plus la longueur parcourue est grande ou plus le rayon est faible et plus sont importants les frottements et donc les résistances.