Étude de la corde de Melde

FondamentalLa corde de Melde

Dans l'expérience de Melde, l'extrémité d'abscisse \(x=L\) d'une corde est fixée (\(y(L,t)=0\)) et un opérateur impose en \(x=0\) un déplacement harmonique :

\(y(0,t)=a cos \omega t\)

De pulsation \(\omega\).

On s'intéresse au régime forcé, obtenu après disparition du régime transitoire.

On cherche ainsi une solution de l'équation de d'Alembert correspondant à une onde stationnaire de même pulsation que l'excitation :

\(y(x,t) = C\;\cos \left( {kx - \psi } \right)\;\cos \left( {\omega t - \varphi } \right)\)

Les conditions aux limites imposent :

\(y(0,t) = Ccos \left( \psi \right)\;\cos \left( {\omega t - \varphi } \right) = a\cos \omega t\)

Et :

\(y(L,t) = 0 = Ccos \left( {kL - \psi } \right)\;\cos \left( {\omega t - \varphi } \right)\)

D'où :

\(a = C\;\cos \left( \psi \right)\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\varphi = 0\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;kL - \psi = \frac{\pi }{2}\)

Soit :

\(C = \frac{a}{{\sin (kL)}}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\varphi = 0\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\psi = kL - \frac{\pi }{2}\)

Par conséquent :

\(y(x,t) = a\;\frac{{\sin \left( {k(L - x)} \right)}}{{\sin (kL)}}\;\cos \omega t\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(avec\;k = \frac{\omega }{c})\)

L'amplitude est maximale pour :

\(sin(k(L-x))=\pm 1\)

Et vaut, en valeur absolue :

\(y_{max}=\frac {a}{sin(kL)}\)

Cette amplitude maximale devient infinie (la corde est alors en résonance) pour des pulsations excitatrices telles que :

\(kL = n\pi \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;soit\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\omega _n = n\frac{{\pi \;c}}{L}\)

correspondant aux modes propres de la corde.

Néanmoins, d'inévitables amortissements et la raideur de la corde font que l'amplitude maximale garde une valeur finie.

Ainsi l'onde stationnaire devient résonante (en régime forcé) lorsque la pulsation d'excitation du vibreur coïncide avec une des pulsations propres (en régime libre) de vibration de la corde, exactement comme pour un circuit LC série où la pulsation \(\omega_0=1/\sqrt{LC}\) désigne à la fois la pulsation propre en régime libre et la pulsation de résonance en régime forcé.

SimulationUne animation JAVA de Jean-Jacques Rousseau (Université du Mans)

  • Fréquences d'une corde vibrante :

  • Chaînette :

  • Propagation des ondes élastiques :