Loi de Fourier
Rappel : Loi de Fourier
On supposera dans la suite que les déséquilibres de température (responsables des phénomènes de transfert) restent faibles.
On pourra ainsi toujours définir en chaque point et à chaque instant, une température, une pression, une masse volumique, ...(axiome « d'équilibre thermodynamique local »).
La présence, dans un milieu matériel sans mouvement macroscopique, d'une inhomogénéité de température fait apparaître un transfert thermique par conduction qui possède les propriétés suivantes :
Le transfert a lieu des zones les plus chaudes vers les zones les plus froides
Il est proportionnel à la surface à travers laquelle on évalue la puissance diffusée ainsi qu'à la durée du transfert
Il augmente de manière linéaire avec le gradient de la température
Joseph Fourier (1768 – 1830) a proposé une loi phénoménologique décrivant ce mode de transfert thermique par conduction.
On considère un corps dont la température dépend de x uniquement et du temps
La quantité d'énergie δQ, qui traverse par conduction thermique une surface élémentaire dS perpendiculaire à l'axe (Ox) pendant une durée dt dans le sens choisi pour l'axe (Ox) est :
\(\delta Q = - \lambda \frac{{\partial T(x,t)}}{{\partial x}}dS\ dt\)
où λ (notée parfois K) est une constante positive caractéristique du matériau appelée conductivité thermique (elle s'exprime en W.m-1.K-1).
On définit le vecteur densité de courant thermique : (par analogie avec le vecteur densité de courant électrique)
\({j_{th}} = \frac{{\delta Q}}{{dSdt}} = - \lambda \frac{{\partial T(x,t)}}{{\partial x}}\)
Ou encore :
\({\vec j_{th}} = {j_{th}}{\vec u_x} = - \lambda \frac{{\partial T(x,t)}}{{\partial x}}{\vec u_x} = - \lambda \overrightarrow {grad} \;T(x,t)\)
Cette dernière expression, faisant intervenir le gradient de la température, constitue la loi de Fourier.
Elle se généralise à des distributions de températures dépendant des trois variables d'espace :
\({\vec j_{th}} = - \lambda \overrightarrow {grad} \ T(x,y,z,t) = - \lambda \left( {\frac{{\partial T(x,y,z,t)}}{{\partial x}}{{\vec u}_x} + \frac{{\partial T(x,y,z,t)}}{{\partial y}}{{\vec u}_y} + \frac{{\partial T(x,y,z,t)}}{{\partial z}}{{\vec u}_z}} \right)\)
La quantité :
\(\frac{{\delta Q}}{{dt}} = {j_{th}}.dS = {\vec j_{th}}.dS\;{\vec u_x}\)
est le flux thermique noté Ρ (c'est une puissance) ; il s'interprète comme le flux de \({\vec j_{th}}\) à travers la surface dS orientée (équivalent de l'intensité électrique).
Les conductivités λ sont données en en W.m-1.K-1 :
Gaz (λ de 0,006 à 0,18) : mauvais conducteurs
Liquides non métalliques (λ de 0,1 à 1) : conducteurs moyens (eau)
Solides métalliques (λ de 10 à 400) : excellents conducteurs (cuivre, acier)
Matériaux non métalliques (λ de 0,004 à 4) : conducteurs moyens (verre, béton, bois) ou mauvais conducteurs (laine de verre, polystyrène expansé)
Attention : Loi de Fourier
A une dimension :
\({\vec j_{th}} = {j_{th}}{\vec u_x} = - \lambda \frac{{\partial T(x,t)}}{{\partial x}}{\vec u_x} = - \lambda \overrightarrow {grad} \;T(x,t)\)
A trois dimensions :
\({\vec j_{th}} = - \lambda \overrightarrow {grad} \ T(x,y,z,t) = - \lambda \left( {\frac{{\partial T(x,y,z,t)}}{{\partial x}}{{\vec u}_x} + \frac{{\partial T(x,y,z,t)}}{{\partial y}}{{\vec u}_y} + \frac{{\partial T(x,y,z,t)}}{{\partial z}}{{\vec u}_z}} \right)\)