Mécanique et poussée d'Archimède, modèle d'atmosphère et stabilité
Consacrer 20 minutes de préparation à cet exercice.
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Une solution détaillée vous est ensuite proposée.
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On considère que l'atmosphère est un gaz parfait soumis au champ de pesanteur uniforme et présentant une température variant avec l'altitude suivant une loi :
\(T(z)=T_0-a z\) (avec \(a>0\))
Question
Paramètres décrivant l'atmosphère
Déterminer l'évolution de la pression en fonction de l'altitude.
Montrer qu'il existe une relation du type \(PT^{-\alpha} = cste\) entre la pression et la température en un point donné, α étant un paramètre lié à a et aux caractéristiques du gaz.
Solution
Le résultat est classique (voir cours) :
\(P(z) = {\left( {\frac{{{T_0} - az}}{{{T_0}}}} \right)^{\frac{{Mg}}{{Ra}}}}{P_0}\)
On voit que :
\(P{T^{-\alpha} } = cste\;\;\;\;avec\;\;\;\;\alpha = \frac{{Mg}}{{Ra}}\)
Question
Stabilité de l'atmosphère
Soit une "bulle" d'air en équilibre à l'altitude z0.
Elle se déplace de δz sous l'action d'une perturbation (δz << z0).
On suppose que la transformation de la bulle est adiabatique quasi statique et que la bulle est en équilibre de pression avec l'air extérieur situé à son niveau.
A quelle condition peut-on considérer que la bulle est en équilibre stable à l'altitude z0 ?
On notera \(\gamma=\frac{{C_P}}{{C_V}}\), rapport qui sera considéré comme constant.
Indice
Comparer le poids de la bulle avec la poussée d'Archimède.
Solution
A la cote \(z_0+dz\), la bulle est soumise à son poids et à la poussée d'Archimède, de résultante :
\(\vec F=(\rho_{int}-\rho_{ext})V\vec g\)
Or (loi des gaz parfaits) :
\(\rho = \frac {PM}{RT}\)
Ainsi :
\(\vec F=\frac {MPV}{R}\ (\frac{1}{T_{int}}-\frac{1}{T_{ext}})\vec g\)
Si le déplacement \(dz>0\), cette force correspondra à une force de rappel (et donc équilibre stable) si \(T_{int}<T_{ext}\).
Or, à l'intérieur de la bulle, la transformation est adiabatique réversible et donc :
\(P^{1-\gamma}T^\gamma=cste\)
Soit :
\(dT_{int}=\frac{\gamma - 1}{\gamma} \frac {T}{P} dP\)
A l'extérieur, on aura \(PT^{-\alpha}=cste\), soit :
\(dT_{ext}=\frac{ 1}{\alpha} \frac {T}{P} dP\)
L'équilibre est stable si \(dT_{int}<dT_{ext}\), soit :
\(a> \frac {\gamma - 1}{\gamma} \frac {Mg}{R}\)