Ondes sonores sphériques

(15 minutes de préparation)

Une sphère pulsante de centre fixe O dont le rayon :

\(a(t)=a_0+a_1cos\omega t\)

varie sinusoïdalement avec une amplitude \(a_1<<a_0<<\lambda\), émet des ondes sonores dans tout l'espace extérieur à la sphère, rempli d'air de masse volumique \(\mu_0\) où la vitesse des ondes sonores vaut \(c_s\).

Compte tenu de la symétrie du problème, on cherche en coordonnées sphériques de centre O un champ de pression de la forme :

\(p_1(r,t)=\) et on rappelle que, pour un champ scalaire \(f(r,t)\), le laplacien peut s'écrire :

\(\Delta f(r)=\frac{1}{r}\frac{\partial^2(rf(r)}{\partial r^2}\)

Question

1) Déterminer la forme générale des solutions \(p_1(r,t)\) de l'équation de d'Alembert et interpréter.Justifier qu'on doit choisir :

\(p_1=\frac{1}{r}f(r-ct)\)

Question

2) Dans la suite, on pose \(k=\omega /c\) et on cherche une solution de la forme :

\(p_1=\frac{A}{r}cos(\omega t-kr-\alpha)\)

  • Déterminer le champ des vitesses correspondant.

  • Comment se simplifie l'expression de \(\vec v\) pour \(r<<\lambda\) ? En déduire les expressions de \(A\) et de \(\alpha\).

  • En déduire la puissance moyenne rayonnée à travers une sphère de rayon \(r\).

Question

On définit une solution stationnaire :

\(y_1(x,t)=y_msin(Kx)cos(\omega t)\)

Montrer que les conditions aux limites permettent d'exprimer une condition sur \(cotan(KL)\).