Un modèle de propagation du son dans l'air
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Un tuyau calorifugé de section S est partagé en une infinité de compartiments (Cn) par des pistons calorifugés Pn et Pn+1 de section S et de masse m.
Dans chaque compartiment se trouve une mole d'air, assimilé à un GP évoluant de manière isentropique selon la loi de Laplace \(PV^\gamma = cste\).
A l'équilibre, l'abscisse du piston (n) vaut :
\(x_{n,eq}=na\)
et la pression a la même valeur P0 dans chaque compartiment.
Hors équilibre, l'abscisse du piston (n) vaut :
\(x_n=na+u_n(t)\)
avec \(\left| {u_n (t)} \right| < < a\) et la pression dans le compartiment (n) vaut Pn.
Question
Établir l'expression de la pression Pn en fonction de P0, g, a, un et un+1 et la linéariser en utilisant \(\left| {u_n (t)} \right| < < a\).
En déduire l'équation différentielle linéaire déterminant le mouvement du piston numéro (n).
Indice
La loi de Laplace est-elle vérifiée ?
N'oubliez pas que \(\left| {u_n (t)} \right| < < a\).
Solution
L'application de la loi de Laplace pour le gaz dans le compartiment n conduit à :
\({P_n} = {P_0}{(1 + ({u_{n + 1}} - {u_n})/a)^{ - \gamma }} \approx {P_0}(1 - \gamma ({u_{n + 1}} - {u_n})/a)\)
Question
On fait l'approximation des milieux continus en définissant une fonction u(x,t) variant peu à l'échelle de a, telle que \(u(na,t)=u_n(t)\).
Établir l'équation aux dérivées partielles dont est solution u(x,t).
Définir une célérité c et commenter son expression.
Solution
Le PFD appliqué au piston numéro n donne :
\({\ddot u_n} = (\gamma S{P_0}/ma)({u_{n + 1}} + {u_{n - 1}} - 2{u_n})\)
L'approximation des milieux continus aboutit à :
\(\begin{array}{l}{u_{n + 1}}(t) = u((n + 1)a,t) = u(na,t) + \frac{{\partial u(na,t)}}{{\partial t}}a + \frac{1}{2}\frac{{{\partial ^2}u(na,t)}}{{\partial {t^2}}}{a^2} \\{u_{n - 1}}(t) = u((n - 1)a,t) = u(na,t) - \frac{{\partial u(na,t)}}{{\partial t}}a + \frac{1}{2}\frac{{{\partial ^2}u(na,t)}}{{\partial {t^2}}}{a^2} \\\end{array}\)
D'où :
\(\frac{{{\partial ^2}u}}{{\partial {x^2}}} - \frac{1}{{{c^2}}}\frac{{{\partial ^2}u}}{{\partial {t^2}}} = 0\)
Avec :
\(c = \sqrt {\frac{{\gamma {P_0}Sa}}{m}}\)
c augmente si le milieu est plus rigide (P0 augmente) et moins inerte (m diminue), ce qui est naturel pour des ondes mécaniques.
Question
Évaluer la célérité c du son dans l'air en supposant que les pistons de masse m du modèle sont en réalité constitués par le volume d'air V = Sa compris entre deux pistons dans le modèle.
On donne :
\(\gamma = 1,4\;;\;P_0 = 1\;bar\;;\;\mu _0 = 1,3\;kg.m^{ - 3}\) (masse volumique de l'air dans les CNTP)
Solution
AN : \(c=328\;m.s^{-1}\) (en bon accord avec la valeur attendue)