Inductance propre, inductance mutuelle
Inductance propre
Un circuit fermé filiforme (C) est parcouru par un courant d'intensité I.
Son champ magnétique propre \(\vec B_p(M)\), donné par la loi de Biot et Savart, est proportionnel à I.
Le flux du champ magnétique propre à travers le contour orienté par le sens positif du courant choisi ou « flux propre » est proportionnel à I :
\({\Phi _P} = \iint_S{\vec B_P}.d\vec S \propto I\;\;\;\;\;\;\;soit\;\;\;\;\;\;\;{\Phi _P} = LI\)
Le coefficient L ne dépend que des caractéristiques géométriques du circuit et s'appelle coefficient d'auto-induction ou d'inductance propre du circuit (C).
Signe de L :
Si \(I>0\), le champ magnétique a le sens représenté sur la figure et le flux est donc positif, donc \(L>0\).
De même, si \(I<0\), le champ magnétique change de sens et le flux devient négatif.
Par conséquent, L est un coefficient positif.
Le flux est exprimé en Weber et le coefficient L en Henry.
Attention : Définition de l'inductance propre d'un circuit filiforme
\({\Phi _P} = \iint_S{\vec B_P}.d\vec S \propto I\;\;\;\;\;\;\;soit\;\;\;\;\;\;\;{\Phi _P} = LI\)
Exemple : Inductance propre d'un solénoïde
Le champ magnétique à l'intérieur du solénoïde « infini » est :
\(\vec B = \mu_0 n I \vec u_z\)
Le flux propre à travers N spires occupant une longueur \(\ell\) est :
\(\Phi_P=(\mu_0\frac{N}{\ell}NS=LI\)
D'où l'inductance propre :
\(L=\frac{\mu_0 N^2S}{\ell}\)
Ordre de grandeur :
Pour une bobine de longueur 10 cm comportant 100 spires dont le diamètre est de 1 cm, l'inductance propre est de l'ordre de 0,01 mH : le henry est une assez grande unité.
Des inductances propres plus importantes s'obtiennent avec une bobine à noyau de fer.
Mais la relation donnant L est plus compliquée (L dépend non seulement de la géométrie du circuit mais aussi de l'intensité).
Exemple : Inductance propre d'une bobine torique de section rectangulaire
On considère une bobine torique de section rectangulaire de hauteur h et de rayons a et b comportant N spires jointives parcourues par un courant I.
Un plan méridien est plan de symétrie ; en un point de ce plan, en cordonnées cylindriques, le champ propre est orthoradial et dépend a priori de r et de z :
\(\vec B_P(M)=B_P(r,z) \;\vec u_{\theta}\)
Les lignes de champs sont des cercles d'axe (Oz).
On applique le théorème d'Ampère à la ligne de champ de rayon r :
\(2\pi \;r\;B(r,z) = {\mu _0}NI\;\;\;\;\;\;\;soit\;\;\;\;\;\;\;{B_P}(r) = \frac{{{\mu _0}NI}}{{2\pi }}\frac{1}{r}\)
Le champ ne dépend finalement pas de la cote z.
Le flux propre à travers les N spires vaut alors :
\({\Phi _P} = N\left( {\int_{\;a}^{\;b} {} {B_P}(h\;dr)} \right) = \frac{{{\mu _0}{N^2}I}}{{2\pi }}h\;\ln \left( {\frac{b}{a}} \right)\)
On en déduit l'inductance :
\(L = \frac{{{\mu _0}{N^2}h}}{{2\pi }}\;\ln \left( {\frac{b}{a}} \right)\)
Inductance mutuelle
Deux circuits filiformes (C1) et (C2) sont parcourus par des courants d'intensités I1 et I2.
Le flux du champ magnétique \(\vec B_2\) à travers le contour fermé (C1) orienté par le sens positif du courant I1 est proportionnel à I2 :
\(\Phi_{2->1}=MI_2\)
De même, le flux du champ magnétique \(\vec B_1\) à travers le contour fermé (C2) orienté par le sens positif du courant I2 est proportionnel à I1 :
\(\Phi_{1->2}=MI_1\)
\(M\) est l'inductance mutuelle (ou coefficient d'induction mutuelle) des deux circuits.
Contrairement à l'inductance qui est toujours positive, \(M\) est positive ou négative (selon l'orientation des circuits).
Remarque :
Si on sait calculer \(\Phi_{1->2}\), on en déduit \(M\) et \(\Phi_{1->2}\). Parfois, le calcul de l'un des deux flux est compliqué alors que le calcul de l'autre est plus simple