Équation locale de conservation de la charge
Rappel :
On considère un volume V délimité par une surface fermée S (fixe dans le référentiel d'étude). Soit ρ la densité volumique de charges mobiles dans le milieu.
La charge totale Q(t) comprise dans le volume à l'instant t vaut :
\(Q(t) = \iiint_{V}\rho d\tau\)
La conservation de la charge électrique permet d'écrire :
\(\frac{{dQ}}{{dt}} = - i(t)\)
Par conséquent :
\(\frac{d}{dt}(\iiint_{V}\rho d\tau)\ = - \oint_S\vec {j}.\vec{n} \ dS\)
Le volume (V) étant fixe :
\(\frac{d}{dt}(\iiint_{V}\rho d\tau)\ =\iiint_{V}\frac{\partial \rho}{\partial t} d\tau\)
Finalement, le principe de conservation de la charge conduit à :
\(\iiint_{V}\frac{\partial \rho}{\partial t} d\tau=- \oint_S\vec {j}.\vec{n} \ dS\)
En utilisant le théorème de Green-Ostrogradsky :
\(\iiint_{V}\frac{\partial \rho}{\partial t} d\tau=- \oint_S\vec {j}.\vec{n} \ dS=-\iiint_{V} div\vec{j} \ d\tau\)
Soit :
\(\iiint_{V}(\frac{\partial \rho}{\partial t} +div\vec{j})\ d\tau=0\)
Ce résultat étant vrai pour tout volume (V), il vient :
\(div\vec{j}+\frac{\partial \rho}{\partial t} =0\)
C'est l'équation locale de conservation de la charge électrique.
Attention : Équation locale de conservation de la charge
\(div\vec{j}+\frac{\partial \rho}{\partial t} =0\)
Remarque : Bilan local de conservation
Une telle forme d'équation se retrouve couramment lorsque l'on fait le bilan d'une grandeur scalaire extensive qui, en l'absence de sources, obéit à un principe de conservation :
Conservation de l'énergie EM (vecteur de Poynting)
Conservation de la masse (en mécanique des fluides)
Équations de la diffusion et de la chaleur (phénomènes de transport).