Un MOOC pour la physique : équations de Maxwell

Le vecteur densité de courant électrique est :

\(\vec j=nq\vec v=\rho_{mob}\vec v\)

• Courant volumique : l'intensité du courant est le flux du vecteur \(\vec j\) à travers une surface S :

  \(I=\iint_S\vec j.\vec n dS\)

  Si le vecteur \(\vec j\) est uniforme et perpendiculaire à la surface, \(I=jS\).

• Courant surfacique : l'intégrale se réduit alors à une intégrale curviligne :

  \(I=\int_{AB}\vec j_S.d\vec \ell\)

  Si le vecteur \(\vec j_S\) est uniforme et perpendiculaire au segment \(AB\) de longueur \(\ell\), \(I=j_S\ell\).

C'est une équation classique de conservation :

\(div \vec j +\frac{\partial\rho}{\partial t}=0\)

\(\rho\) est ici la charge volumique totale et non pas seulement la charge volumique mobile \(\rho_{mob}\) qui intervient dans la définition de \(\vec j=\rho_{mob}\vec v\).

En régime stationnaire, \(div\vec j = 0\). Par conséquent, \(\vec j\) est à flux conservatif :

\(\oiint \vec j.\vec n dS = 0\)

Ou, ce qui revient au même, sur un tube de champ (ou un tube de courant) au niveau d'un nœud :

\(\iint_{S_1}\vec j.\vec n dS=\iint_{S_2}\vec j.\vec n dS+\iint_{S_3}\vec j.\vec n dS\)

On démontre ainsi la loi des nœuds :

\(I_1=I_2+I_3\)

• Les équations de Maxwell sont :

  \(\mathrm{div} \vec{E} =\frac{\rho}{\epsilon_0}\) (Équation de Maxwell - Gauss, MG)

  \(\mathrm{div} \vec{B} =0\) (Équation du flux magnétique)

  \(\overrightarrow{\mathrm{rot}} \vec E = -\frac{\partial \vec B}{\partial t}\) (Équation de Maxwell - Faraday, MF)

  \(\overrightarrow{\mathrm{rot}} \vec B = \mu_0 \vec{\jmath} + \epsilon_0 \mu_0 \frac{\partial \vec E}{\partial t}\) (Équation de Maxwell - Ampère, MA)

• Dans le cas d'un conducteur ohmique :

  \(\begin{array}{l}div\;\vec B = 0 \\div\;\vec E = 0 \\\overrightarrow {rot} \;\vec E = - \frac{{\partial \vec B}}{{\partial t}} \\\;\overrightarrow {rot} \;\vec B = \mu _0 \vec j = \mu _0 \sigma \;\vec E \\\end{array}\)

On utilise le théorème de Green-Ostrogradsky :

\(\iiint_V div\vec E d\tau =\oiint_S \vec E.\vec n dS=\frac{1}{\varepsilon_0}\iiint_V\rho (M)d\tau\)

Soit :

\(\oiint_S \vec E.\vec n dS=\frac{1}{\varepsilon_0}Q_{int}\)

On utilise le théorème de Stockes :

\(\iint_S \vec {rot}\vec B.\vec n.dS=\oint_C\vec B.d\vec \ell=\mu_0 \iint_S \vec j.\vec n dS\)

Soit :

\(\oint_C\vec B.d\vec \ell=\mu_0 \iint_S \vec j.\vec n dS=\mu_0 I_{enl}\)

L'équation de Maxwell-Flux, \(div\vec B=0\), conduit à :

\(\oiint_S\vec B.\vec n dS=0\)

Ce qui signifie que le champ magnétique \(\vec B\) est à flux conservatif.

• Énergie volumique d'origine électrique d'un champ électromagnétique :

  \(e_E=\frac{1}{2}\varepsilon_0 E^2\)

• Énergie volumique d'origine magnétique d'un champ électromagnétique :

  \(e_B=\frac{1}{2}\frac{B^2}{\mu_0}\)

• \(e_{EM}=e_E+e_B\) est l'énergie volumique totale du champ EM.

• Vecteur de Poynting en électromagnétisme :

  \(\vec \Pi = \frac{{\vec E \wedge \vec B}}{{{\mu _0}}}\)

• Puissance volumique reçue par la matière de la part d'un champ EM :

  \(p_V=\vec j.\vec E\)

  Pour un conducteur ohmique (pour lequel la loi d'Ohm locale est vérifiée, \(\vec j =\gamma \vec E\)) :

  \(p_V=\gamma E^2\)

• Bilan local de conservation de l'énergie EM :

  \(\frac{{\partial e_{em} }}{{\partial t}} = - div\;\vec \Pi - \vec j.\vec E\)

  La forme intégrale de la conservation de l'énergie EM est :

  \(\frac{d}{dt}(\iiint_V e_{EM}d\tau)=- \oiint_S\vec {\vec \Pi}.\vec{n} \ dS - \iiint_V \vec j .\vec E d\tau\)

• Énergie d'origine magnétique instantanée emmagasinée dans une bobine d'inductance L parcourue par un courant d'intensité i(t) :

  \(E_m=\frac{1}{2}Li(t)^2\)

• Énergie magnétique d'un système de deux circuits d'inductances propres respectives L₁ et L₂ et de mutuelle M parcourus par des courants respectifs I₁ et I₂ :

  \(E_m=\frac{1}{2}L_1I_1^2+\frac{1}{2}L_2I_2^2+MI_1I_2\)

• Énergie d'origine électrique instantanée emmagasinée dans un condensateur de capacité C soumis à la tension u(t) :

  \(E_C=\frac{1}{2}Cu(t)^2\)

• La capacité d'un condensateur est définie par :

  \(u(t)=\frac{q}{C}\)

  Pour un condensateur plan :

  \(C=\frac{\varepsilon_0 S}{e}\)

  où \(S\) est la surface des armatures et \(e\) la distance entre les armatures.

  Si un diélectrique de permittivité relative \(\varepsilon_r\) est placé entre les deux armatures, la capacité devient :

  \(C=\frac{\varepsilon_0 \varepsilon_rS}{e}\)