Effet de peau dans un conducteur ohmique plongé dans un solénoïde
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Un solénoïde cylindrique d'axe (Oz) de rayon R0 comportant n spires par mètre est parcouru par un courant variable dont l'intensité est i(t) = I cos (ωt).
On admet que le champ magnétique propre créé par le solénoïde est uniforme à l'intérieur (r < R0) :
\(\vec B = \mu _0 ni(t)\ \vec u_z\)
Et nul à l'extérieur (r > R0) et que le champ électrique est orthoradial :
\(\vec E = E\left( {r,t} \right)\ \vec u_\theta\)
Question
Déterminer le champ électrique à l'intérieur du solénoïde.
Indice
Quelle est la relation de Maxwell qui permet d'expliquer pourquoi apparaît un champ électrique quand un champ magnétique dépend du temps ?
Penser au théorème de Stockes.
Solution
On utilise l'expression intégrale de l'équation de MF (obtenue avec le théorème de Stokes) :
\(\oint_{(C)} {\vec E.d\vec \ell } = - \frac{d}{{dt}}\left( {} \right) = - \frac{{d\Phi }}{{dt}}\)
Avec les hypothèses de l'énoncé :
\(2\pi rE(r) = - \mu _0 n\frac{{di}}{{dt}}\pi r^2\)
Soit :
\(\vec E = - \frac{{\mu _0 nr}}{2}\frac{{di}}{{dt}}\vec u_\theta\)
Question
On place un cylindre massif long de conductivité \(\gamma\), de hauteur h et de rayon R1 < R0 à l'intérieur du solénoïde.
Déterminer la densité de courant \(\vec j\) créée par le champ électrique \(\vec E\). Quel est l'effet observable associé à ces courants ?
Solution
Loi d'Ohm locale donne :
\(\vec j = \gamma \vec E = - \frac{{\gamma \mu _0 nr}}{2}\frac{{di}}{{dt}}\vec u_\theta = \frac{{\gamma \mu _0 nr}}{2}I\omega \sin (\omega t)\vec u_\theta\)
Échauffement dû à l'effet Joule :
On calcule la puissance volumique :
\(p_J = \vec j.\vec E = \frac{{\gamma \mu _0^2 n^2 r^2 }}{4}\left( {\frac{{di}}{{dt}}} \right)^2\)
Question
En déduire le champ magnétique \(\vec B_i\) créé sur l'axe par les courants et donner la condition sous laquelle ce champ (appelé champ induit) est négligeable devant celui créé par le solénoïde
Solution
On a des solénoïdes emboîtés ; pour un solénoïde situé entre r et r + dr, le champ magnétique sur l'axe est :
\(d\vec B_i = \frac{{\gamma \mu _0^2 nr}}{2}I\omega \sin (\omega t)dr\vec u_z \;\;\;et\;\;\;\vec B_i = \frac{{\gamma \mu _0^2 n}}{2}I\omega \sin (\omega t)\vec u_z \int_0^{r_1 } {rdr}\)
Finalement :
\(\vec B_i = \frac{{\gamma \mu _0^2 n}}{4}I\omega r_1^2 \sin (\omega t)\vec u_z\)
On évalue le rapport des deux champs magnétiques :
\(\frac{{B_i }}{{\mu _0 nI}} \approx \frac{{\gamma \mu _0^{} }}{4}\omega r_1^2 < < 1\;\;\;\;\;\;si\;\;\;\;\;r_1 < < \sqrt {\frac{4}{{\mu _0 \gamma \omega }}} = \sqrt 2 \delta\)
Soit r1 << l'épaisseur de peau \(\delta\).
Question
Si cette condition n'est pas vérifiée, indiquer sans justification la répartition des courants dans le cylindre.
Solution
On a effet de peau et le courant n'existe que sur la partie périphérique du cylindre de l'ordre de quelques \(\delta\).