Champ électromagnétique créé par un fil chargé en translation
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Un fil infini, portant une densité linéique de charge λ, est animé, dans le référentiel du laboratoire R supposé galiléen, d'une vitesse constante \({\rm{\vec v}}_{\rm{0}}\) qui lui est parallèle.
Question
Déterminer en un point M, fixe dans R et situé à la distance r du fil, les champs électrique et magnétique et ainsi que la relation existant entre eux.
Commentaires.
Indice
Appliquer les théorèmes de Gauss et d'Ampère.
Quel est le courant volumique équivalent à des charges en translation ?
Solution
Le champ électrique est donné par le théorème de Gauss. Le calcul est classique :
\(\vec E = \frac{\lambda }{{2\pi \varepsilon _0 }}\frac{1}{r}\vec u_r\)
Pour calculer le champ magnétique, on utilise le théorème d'ampère avec un courant égal à \(\lambda v_0\) :
\(\vec B = \frac{{\mu _0 \lambda v_0 }}{{2\pi }}\frac{1}{r}\vec u_\theta\)
On constate que :
\(\vec B = \frac{{\vec v_0 }}{{c^2 }} \wedge \vec E\)
Remarque :
Soit \(\vec E'\) le champ électrique dans le référentiel du conducteur, égal au champ que l'on a calculé.
Le champ électrique dans le référentiel du laboratoire est donné par la loi de composition classique des champs :
\(\vec E = \vec E' - \vec v_0 \wedge \vec B = \vec E' - \vec v_0 \wedge \left( {\frac{{\vec v_0 }}{{c^2 }} \wedge \vec E} \right)\)
Soit :
\(\vec E = \vec E'\), car \(\frac{{v_0 }}{c} < < 1\)