Équation de propagation des ondes acoustiques
Méthode : Linéarisation des équations de conservation de la masse et de l'équation d'Euler
L'équation de conservation de la masse s'écrit :
\(div(\mu _T \vec v) + \frac{{\partial \mu _T }}{{\partial t}} = 0\)
Soit, avec \(\mu =\mu_T-\mu_0\) :
\(div((\mu _0 + \mu )\vec v) + \frac{{\partial \mu }}{{\partial t}} = 0\)
D'où :
\(\mu _0 div(\vec v) + \mu div(\vec v) + \vec v.\overrightarrow {grad} \mu + \frac{{\partial \mu }}{{\partial t}} = 0\)
Approximation linéaire (ou acoustique) : on se limite dans la suite aux termes du 1er ordre.
Par conséquent :
\(\mu _0 div(\vec v) + \frac{{\partial \mu }}{{\partial t}} = 0\)
L'équation du mouvement du fluide est ici l'équation d'Euler (pas de viscosité) :
\(\mu _T \left( {\frac{{\partial \vec v}}{{\partial t}} + (\vec v.\overrightarrow {grad} )\vec v} \right) = - \overrightarrow {grad} P + \vec f_v\)
La force volumique statique (par exemple, \(\vec f_v =\mu_T \vec g\)) est compensée par le gradient de la pression statique \(P_0\).
L'influence de ses variations (par exemple \(\mu \vec g\)) est en pratique négligeable par rapport au gradient de la surpression \(p\).
L'équation du mouvement devient alors, après linéarisation :
\(\mu _0 \frac{{\partial \vec v}}{{\partial t}} = - \overrightarrow {grad} p\)
On rappelle de plus la relation entre la surpression et la variation de la masse volumique :
\(\mu \approx \mu _0 \chi _S p\)
En éliminant la variable \(\mu\), on obtient le système d'équations couplées :
\(\frac{{\partial \vec v}}{{\partial t}} = - \frac{1}{{\mu _0 }}\overrightarrow {grad} p\;\;\;\;\;et\;\;\;\;\;\frac{{\partial p}}{{\partial t}} = - \frac{1}{{\chi _S }}div(\vec v)\)
Fondamental : Équation de propagation
Pour la surpression \(p\) :
On calcule la divergence de l'équation de gauche précédente :
\(div\left( {\frac{{\partial \vec v}}{{\partial t}}} \right) = - \frac{1}{{\mu _0 }}div\left( {\overrightarrow {grad} p} \right)\)
Soit :
\(\frac{\partial }{{\partial t}}\left( { - \chi _S \frac{{\partial p}}{{\partial t}}} \right) = - \frac{1}{{\mu _0 }}\Delta p\;\;\;\;\;\;\;donc\;\;\;\;\;\;\;\Delta p - \mu _0 \chi _S \frac{{\partial ^2 p}}{{\partial t^2 }} = 0\)
On reconnaît l'équation de propagation de d'Alembert ; la vitesse des ondes sonores s'en déduit :
\(\;\Delta p - \frac{1}{{c_s^2 }}\frac{{\partial ^2 p}}{{\partial t^2 }} = 0\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;avec\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;c_s = \frac{1}{{\sqrt {\mu _0 \chi _S } }}\)
Pour la vitesse \(\vec v\) :
En écrivant que :
\(div(\vec v) = - \chi _S \frac{{\partial p}}{{\partial t}}\)
Puis en en prenant le gradient tout en dérivant l'équation :
\(\mu _0 \frac{{\partial \vec v}}{{\partial t}} = - \overrightarrow {grad} p\)
Par rapport au temps :
\(- \overrightarrow {grad} \left( {\frac{{\partial p}}{{\partial t}}} \right) = \frac{1}{{\chi _S }}\overrightarrow {grad} (div\vec v) = \frac{1}{{\chi _S }}\left( {\overrightarrow {rot} (\overrightarrow {rot} \vec v) + \Delta \vec v} \right) = \mu _0 \frac{{\partial ^2 \vec v}}{{\partial t^2 }}\)
Très souvent, on aura un champ des vitesses de la forme \(\vec v=v(x,t)\vec u_x\), par conséquent \(\vec {rot}\vec v=\vec 0\). Ce résultat peut se généraliser.
L'équation vérifiée par le champ des vitesses devient :
\(\;\Delta \vec v- \frac{1}{{c_s^2 }}\frac{{\partial ^2 \vec v}}{{\partial t^2 }} = 0\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;avec\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;c_s = \frac{1}{{\sqrt {\mu _0 \chi _S } }}\)
On retrouve une relation de d'Alembert identique à celle obtenue pour la surpression.
Attention : Équations de d'Alembert pour la surpression et le champ des vitesses
\(\;\Delta p - \frac{1}{{c_s^2 }}\frac{{\partial ^2 p}}{{\partial t^2 }} = 0\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;avec\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;c_s = \frac{1}{{\sqrt {\mu _0 \chi _S } }}\)
\(\;\Delta \vec v- \frac{1}{{c_s^2 }}\frac{{\partial ^2 \vec v}}{{\partial t^2 }} = 0\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;avec\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;c_s = \frac{1}{{\sqrt {\mu _0 \chi _S } }}\)
Exemple : Ordre de grandeur de la vitesse du son dans l'air
Pour un gaz parfait en évolution isentropique, la loi de Laplace permet d'écrire :
\(PV^\gamma = cste{\kern 1pt} \;\;\;\;\;ou\;\;\;\;\;P\mu ^{ - \gamma } = cste\;\;\;\;\;soit\;\;\;\;\;\frac{{dP}}{P} = \gamma \frac{{d\mu }}{\mu }\)
Soit, en utilisant l'hypothèse acoustique :
\(\frac{p}{{P_0 }} = \gamma \frac{\mu }{{\mu _0 }}=\gamma \frac{\mu_0\chi_Sp}{\mu_0}=\gamma \chi_S p\;\;\;\;\;soit\;\;\;\;\;\chi_S=\frac{1}{\gamma P_0}\)
La vitesse du son devient :
\(c = \sqrt {\frac{1}{{\mu _0 \chi _S }}} = \sqrt {\frac{{\gamma P_0 }}{{\mu _0 }}} = \sqrt {\frac{{\gamma RT_0 }}{M}}\)
Où \(T_0\) est la température du gaz à l'équilibre et M sa masse molaire.
AN :
Avec \(\gamma = 1,4\) et \(M=29\;g.mol^{-1}\) et \(T_0=293\;K\) : \(c=343\;m.s^{-1}\).
Remarque :
Pour un liquide, \(\chi_{liquide}<<\chi_{gaz}\) : la vitesse du son est donc plus importante dans les liquides que dans les gaz.
Le cas des solides n'entre pas dans le cadre de l'étude menée ici (Voir le modèle de la chaîne d'atomes couplés par des ressorts).
On remarque toutefois que la vitesse du son dans un solide est encore plus élevée que dans un liquide.