Isolation phonique
Consacrer 15 minutes de préparation à cet exercice.
Puis, si vous manquez d'idée pour débuter, consultez l'indice fourni et recommencez à chercher.
Une solution détaillée vous est ensuite proposée.
Pour étudier l'atténuation sonore introduite par un mur, on adopte le modèle sommaire suivant :
Dans un tuyau de section S, une onde sonore incidente plane progressive harmonique de pulsation ω arrive sur un piston de surface S, d'épaisseur e et de masse volumique \(\mu\), libre de se déplacer au voisinage de x = 0.
On note c la vitesse du son dans l'air et \(\mu_0\) la masse volumique de l'air.
On cherche un champ des vitesses de la forme :
\({v_1}(x < 0,t) = {A_1}{e^{j(\omega t - kx)}} + {B_1}{e^{j(\omega t + kx)}}\)
Et :
\({v_1}(x > e,t) = {A_2}{e^{j(\omega t - kx + ke)}}\)
Question
Justifier ces expressions et écrire les surpressions \(p_1(x,t)\) correspondantes.
Solution
Le piston créé une onde réfléchie :
\({p_1}(x < 0,t) = {\mu _0}c{A_1}{e^{j(\omega t - kx)}} - {\mu _0}c{B_1}{e^{j(\omega t + kx)}}\;\;\;et\;\;\;{p_1}(x > e,t) = {\mu _0}c{A_2}{e^{j(\omega t - kx + ke)}}\)
Question
Écrire les conditions aux limites sur le piston indéformable et en déduire que :
\(\frac{{{{\underline A }_2}}}{{{A_1}}} = \frac{1}{{1 + \frac{{j\omega \;\mu e}}{{2{\mu _0}c}}}}\)
Solution
La continuité des vitesses donne :
\(A_1+B_1=A_2\)
Le théorème du CI appliqué au piston donne (la vitesse du piston est par exemple donnée par \(v_1(x=e,t)\)) :
\(j\omega (\mu Se){A_2} = S{p_1}(0,t) - S{p_1}(e,t)\)
Soit :
\(j\omega \mu e{A_2} = {\mu _0}c({A_1} - {B_1} - {A_2})\)
On en déduit alors :
\(\frac{{{{\underline A }_2}}}{{{A_1}}} = \frac{1}{{1 + \frac{{j\omega \;\mu e}}{{2{\mu _0}c}}}}\)
Question
En déduire le facteur de transmission en puissance T du mur.
On donne :
\({\mu _0} = 1,3\;kg.{m^{ - 3}},\;\mu = {2.10^3}\;kg.{m^{ - 3}},\;c = 340\;m.{s^{ - 1}}\)
Quelle doit être l'épaisseur minimale du mur si on veut une atténuation d'au moins - 40 décibels pour \(f=1\;kHz\) puis pour \(f=100\;Hz\) ?
Solution
Le facteur de transmission en puissance T du mur est ici :
\(T = {\left| {\frac{{{A_2}}}{{{A_1}}}} \right|^2} = \frac{1}{{1 + \frac{{{\mu ^2}{e^2}{\omega ^2}}}{{4\mu _0^2{c^2}}}}}\)
On souhaite une atténuation de – 40 dB (au moins). Par conséquent, \(T<10^{-4}\).
On obtient \(e>7\;mm\) à \(1\;kHz\) et \(e>7\;cm\) à \(100\;Hz\).