Équation d'Euler
Rappel : Forces volumiques, forces massiques
Dans l'hypothèse du fluide parfait, on néglige les forces de viscosité.
Un élément de fluide de volume \(d\tau\) et de masse \(dm\) est soumis à des forces de représentation massique ou volumique selon l'expression :
\(d\vec f = \vec f_m \;dm = \vec f_v \;d\tau \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(avec\;:\;\vec f_v = \mu \;\vec f_m )\)
Exemples :
Forces de pesanteur :
\(\vec f_m = \vec g\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\vec f_v = \mu \;\vec g\)
Forces de pression :
\(d\vec f = - \overrightarrow {grad} P\;d\tau \;\;\;\;\;;\;\;\;\;\;\vec f_v = - \overrightarrow {grad} P\;\;\;\;\;;\;\;\;\;\;\vec f_m = - \frac{1}{\mu }\overrightarrow {grad} P\)
Fondamental : Équation d'Euler
Dans un référentiel galiléen (R), la relation fondamentale de la dynamique appliquée à une particule de fluide de masse \(dm\) dont on suit le mouvement et soumise aux forces \(d\vec F\) s'écrit :
\(dm\;\frac{{D\vec v}}{{Dt}} = d\vec F\)
Or :
\(\frac{{D\vec v}}{{Dt}} = \frac{{\partial \vec v}}{{\partial t}} + (\vec v.\overrightarrow {grad} )\;\vec v = \frac{{\partial \vec v}}{{\partial t}} + \overrightarrow {grad} \left( {\frac{{v^2 }}{2}} \right)\; + \;\overrightarrow {rot} (\vec v)\; \wedge \;\vec v\)
\(d\vec F = - \overrightarrow {grad} P\;d\tau + \vec f_v \;d\tau\)
\(dm = \mu \;d\tau\)
D'où l'équation d'Euler :
\(\mu \;\frac{{\partial \vec v}}{{\partial t}} + \mu \;(\vec v.\overrightarrow {grad} )\;\vec v = - \overrightarrow {grad} P\; + \vec f_v\)
Ou encore :
\(\mu \;\frac{{\partial \vec v}}{{\partial t}} + \mu \;\overrightarrow {grad} \left( {\frac{{v^2 }}{2}} \right)\; + \;\mu \;\overrightarrow {rot} (\vec v)\; \wedge \;\vec v = - \overrightarrow {grad} P\; + \vec f_v\)
Attention : Équation d'Euler
\(\mu \;\frac{{\partial \vec v}}{{\partial t}} + \mu \;(\vec v.\overrightarrow {grad} )\;\vec v = - \overrightarrow {grad} P\; + \vec f_v\)
Ou encore :
\(\mu \;\frac{{\partial \vec v}}{{\partial t}} + \mu \;\overrightarrow {grad} \left( {\frac{{v^2 }}{2}} \right)\; + \;\mu \;\overrightarrow {rot} (\vec v)\; \wedge \;\vec v = - \overrightarrow {grad} P\; + \vec f_v\)