Questionnaire

Répondre à ce questionnaire juste après avoir visionné et étudié la vidéo "La physique animée".

Question

Citer les contributions de Navier et de Stokes à la mécanique des fluides.

Solution

Claude Henri Navier est né à Dijon le 10 février 1785 et mort à Paris le 21 août 1836. Il est ingénieur des Ponts et Chaussées et c'est en 1822 qu'il publie un mémoire sur les lois du mouvement des fluides, dans lequel il présente cette équation.

George Stokes (né le 13 août 1819 et mort le 1er février 1903) est un mathématicien et physicien britannique. Ses contributions majeures concernent la mécanique des fluides, l'optique et la géodésie. C'est en 1845 qu'il publie un traité d'hydrodynamique dans lequel il traite du mouvement des fluides visqueux.

Question

En quelle année Osborne Reynolds a t'il introduit le nombre de Reynolds ?

Solution

L'équation de Navier – Stokes fait apparaître deux termes en compétition : un terme d'inertie et un terme lié à la viscosité du fluide.

Le nombre de Reynolds, introduit en 1883 par Osborne Reynolds (né en 1842 et mort en 1912), permet de comparer l'importance relative de ces deux termes.

Question

Quelles sont les différences entre fluides newtoniens et fluides non newtoniens ?

Solution

Pour les fluides appelés newtoniens, la viscosité dépend de la température et elle se révèle très peu sensible à la pression.

Pour les fluides non newtoniens, la viscosité peut varier selon de nombreux paramètres. Ainsi, une pâte de dentifrice coule quand la pression sur le tube est suffisante et on peut traverser une piscine remplie d'eau et de maïzena sans se noyer, à condition d'imposer une fréquence suffisante de ses pas !

Question

  • Soit un fluide newtonien de viscosité dynamique η, en écoulement avec un champ de vitesses du type \(v(y,t)\vec e_x\) . Donner l'expression de la contrainte tangentielle exercée par le fluide situé au dessous de la cote y sur le fluide situé au dessus de cette cote y.

  • Quelle est l'expression volumique des forces de viscosité s'exerçant sur un fluide visqueux incompressible et newtonien ?

Solution

  • Pour un écoulement unidirectionnel, tel que \(\vec v=v(y,t)\vec u_x\), la force de surface tangentielle , appelée force de cisaillement ou de viscosité, qui s'exerce à travers une surface d'aire S normale à vaut (il s'agit de la force exercée par la couche supérieure sur la couche inférieure) :

    \(\vec F = \eta \frac{{\partial v}}{{\partial y}}S\;\vec u\)

    La viscosité a pour effet, dans un écoulement unidirectionnel, d'accélérer les éléments lents et de freiner les éléments rapides. Il s'agit donc d'un transfert interne de quantité de mouvement, qui présente les caractéristiques d'une diffusion de quantité de mouvement.

  • La force volumique de viscosité est :

    \({\vec f_{vis}} = \frac{{d{{\vec F}_{vis}}}}{{d\tau }} = \eta \;\Delta \vec v = \eta \left| \begin{array}{l}\Delta {v_x} \\\Delta {v_y} \\\Delta {v_z} \\\end{array} \right|\)

Question

Donner quelques ordres de grandeur de viscosité.

Solution

En Pl, dans les conditions normales :

  • Pour l'air : \(10^{-5}\)

  • Pour l'eau : \(10^{-3}\)

  • Pour la glycérine : \(1,5\)

  • Pour du miel : \(10\)

  • Pour du bitume : \(10^8\)

  • Pour un glacier : \(10^{12}\)

Question

  • Écrire l'équation d'Euler pour un écoulement parfait dans un référentiel galiléen.

  • Donner l'équation de Navier – Stokes pour un écoulement visqueux d'un fluide incompressible dans un référentiel galiléen.

Solution

  • Équation d'Euler pour un écoulement parfait dans un référentiel galiléen :

    \(\mu \;\frac{{\partial \vec v}}{{\partial t}} + \mu \;(\vec v.\overrightarrow {grad} )\;\vec v = - \overrightarrow {grad} P\; + {\vec f_v}\)

    Ou encore :

    \(\mu \;\frac{{\partial \vec v}}{{\partial t}} + \mu \;\overrightarrow {grad} \left( {\frac{{{v^2}}}{2}} \right)\; + \;\mu \;\overrightarrow {rot} (\vec v)\; \wedge \;\vec v = - \overrightarrow {grad} P\; + {\vec f_v}\)

  • Équation de Navier – Stokes pour un écoulement visqueux d'un fluide incompressible dans un référentiel galiléen :

    \(\mu \;\frac{{\partial \vec v}}{{\partial t}} + \mu \;(\vec v.\overrightarrow {grad} )\;\vec v = - \overrightarrow {grad} P\; +\eta\Delta \vec v +{\vec f_v}\)

Question

  • Donner la définition puis l'expression du nombre de Reynolds. Quelle est sa dimension ?

  • Quelle est la relation entre le nombre de Reynolds \(R_e\) et l'épaisseur de la couche limite \(\delta\) ?

  • Évaluer le nombre de Reynolds d'un nageur

Solution

  • Le nombre de Reynolds est défini comme étant l'ordre de grandeur du rapport du terme convectif sur le terme de diffusion :

    \({R_e} = \frac{{\left\| {\rho (\vec v.\overrightarrow {grad} )\vec v} \right\|}}{{\left\| {\eta \Delta \vec v} \right\|}} \approx \frac{{\rho \frac{{v_\infty ^2}}{D}}}{{\eta \frac{{{v_\infty }}}{{{D^2}}}}} = \frac{{\rho D{v_\infty }}}{\eta }\)

    où \(D\) est une taille caractéristique de l'écoulement (la longueur de l'obstacle, par exemple) et \(v_{\infty}\) la vitesse du fluide loin de l'obstacle.

  • L'épaisseur de la couche limite s'exprime en fonction du nombre de Reynolds :

    \(\delta \approx \frac{L}{{\sqrt {{R_e}} }}\)

  • Pour un nageur : \(R_e=10^5\)

Question

Définir un écoulement rampant.

Solution

On se place en régime stationnaire. La vitesse d'écoulement est faible et la viscosité est grande. On peut s'attendre à ce que les effets de viscosité dominent : \(R_e\) doit être très inférieur à 1.

On parle d'écoulement rampant, régi par l'équation de Stokes qui correspond à l'écriture simplifiée de l'équation de Navier – Stokes en régime stationnaire :

\(- \overrightarrow {grad} (P) + \rho \vec g + \eta \Delta \vec v = \vec 0\)