Écoulement d'un fluide visqueux sur un plan incliné
Consacrer 20 minutes de préparation à cet exercice.
Puis, si vous manquez d'idée pour débuter, consultez l'indice fourni et recommencez à chercher.
Une solution détaillée vous est ensuite proposée.
On considère l'écoulement permanent d'une couche de fluide incompressible et visqueux, de hauteur h, sur un plan incliné. On suppose l'écoulement unidimensionnel : le champ des vitesses sera parallèle à l'axe Ox et ne dépendra que de la variable z.
A la surface libre, la pression est uniforme et vaut P0.
La masse volumique du fluide, supposé newtonien, est ρ et sa viscosité \(\eta\).
On admettra qu'à cause de la faible viscosité de l'air au-dessus du fluide, il n'y a pas de contrainte tangentielle en z = h.
On donne l'équation de Navier - Stokes pour un fluide newtonien :
\(\rho \left[ {\frac{{\partial \vec v}}{{\partial t}} + (\vec v.\overrightarrow {grad} )\vec v} \right] = - \overrightarrow {grad} P + \rho \vec g + \eta \Delta \vec v\)
Question
Simplifier et projeter l'équation de Navier-Stokes.
Solution
En régime permanent :
\(\frac{{\partial \vec v}}{{\partial t}} = \vec 0\)
L'accélération convective vaut, avec les hypothèses de l'énoncé :
\((\vec v.\overrightarrow {grad} )\vec v = \left( {{v_x}(z).\frac{\partial }{{\partial x}}} \right){v_x}(z) = 0\)
Par conséquent :
\(- \overrightarrow {grad} P + \rho \vec g + \eta \Delta \vec v = \vec 0\)
Question
Déterminer le champ des vitesses \(\vec v = v(z)\;\vec e_x\) en tenant compte des conditions aux limites.
Solution
L'équation précédente donne, en projection : (et P ne dépend pas de y)
\(\frac{{\partial P}}{{\partial x}} = \rho g\sin \theta + \eta \frac{{{d^2}v}}{{d{z^2}}}\;\;\;\;\;\;\;;\;\;\;\;\;\;\;\frac{{\partial P}}{{\partial z}} = - \rho g\cos \theta\)
La deuxième équation donne par intégration :
\(P(x,z) = - \rho g\cos \theta \;z + cste = \rho g\cos \theta (h - z) + {P_0}\)
La 1ère devient alors, en remarquant que \(\frac{{\partial P}}{{\partial x}} = 0\) :
\(\rho g\sin \theta + \eta \frac{{{d^2}v}}{{d{z^2}}} = 0\;\;\;\;\;soit\;\;\;\;\;v(z) = - \frac{{\rho g\sin \theta }}{{2\eta }}{z^2} + az + b\)
La vitesse est nulle en z = 0 et l'air n'exerce pas de force tangentielle sur le liquide en z = h, par conséquent \(dv/dz=0\) en z = h. Ainsi :
\(v(z) = \frac{{\rho g\sin \theta }}{{2\eta }}(2h - z)z\)
On obtient un profil de vitesses de type parabolique, avec un maximum en z = h.
Question
On s'intéresse à un écoulement de largeur L selon l'axe Oy, avec L >> h, pour pouvoir négliger les effets de bord. Calculer le débit volumique DV et en déduire la vitesse moyenne du fluide.
Solution
Le débit volumique vaut :
\({D_v} = L\int_0^h {\frac{{\rho g\sin \theta }}{{2\eta }}(2h - z)z} dz = \frac{{\rho gL{h^3}\sin \theta }}{{3\eta }}\)
Et la vitesse moyenne de l'écoulement est :
\({v_{moy}} = \frac{{{D_v}}}{{Lh}} = \frac{{\rho g{h^2}\sin \theta }}{{3\eta }}\)
Question
On s'intéresse à une couche de glycérine pour laquelle :
\(\rho = 900\ kg.m^{ - 3}\) et \(\eta = 0,85\ Pa.s\)
et d'épaisseur 1 mm. L'angle θ vaut 10°. Calculer la vitesse moyenne et commenter le résultat en utilisant le nombre de Reynolds.
Solution
On obtient :
\(v_{moy}=0,61\;mm.s^{-1}\)
Et le nombre de Reynolds est :
\(R_e = \frac {\rho h v_{moy}}{\eta}=6,5\;10^{-4}<<1\)
Les forces de viscosité sont bien suffisantes pour imposer un champ des vitesses laminaire.