Bilans de quantités de mouvements et de moments cinétiques
Exemple : Force exercée sur un coude de canalisation
De l'eau de masse volumique
coule en régime stationnaire avec un débit massique
dans une canalisation horizontale de section constante S faisant un coude d'angle droit.
On néglige la pesanteur et l'écoulement est supposé parfait.
Loin du coude en amont, la pression est uniforme et vaut
et l'écoulement est unidimensionnel de vitesse
.
Loin du coude en aval, la pression uniforme vaut
et la vitesse
.
Calculs de
et de
:La conservation du débit volumique conduit à
.Le théorème de Bernoulli (valable ici car l'écoulement est stationnaire, parfait, incompressible, homogène) donne (le tube est horizontal !) :
Calcul de la force subie par la canalisation (bilan de quantité de mouvement) :
La force
exercée par l'eau sur la canalisation est égale à l'opposée
de la force exercée par la canalisation sur l'eau. En l'absence de viscosité, il s'agit aussi de la résultante des forces de pression sur la paroi latérale (T) de la canalisation.
Un bilan de quantité de mouvement sur l'eau contenue dans la canalisation permet de calculer cette force.
On raisonne sur le système fermé suivant : le contenu de tube coudé et la masse
qui rentre en amont entre les instants
et
.. La variation de quantité de mouvement de ce système vaut :
Or : (on est en régime stationnaire)
Et :
Par conséquent :
Le fluide est soumis aux forces :
le poids (négligé)
A la force
Et aux forces de pression à l'entrée (
) et à la sortie (
) du tube.
Le théorème de la résultante cinétique donne :
On en déduit la force exercée par l'eau sur la canalisation :
La direction de la force était attendue ; cette force est la résultante des forces de pression exercées par l'eau sur la canalisation.
Sa direction et son sens montrent qu'au voisinage du coude, il existe une surpression sur le bord extérieur de la canalisation par rapport au bord intérieur
Exemple : Poussée d'une fusée
On considère une fusée dont la masse à l'instant
est notée
.
Des gaz sont éjectés à la vitesse
par rapport à la fusée, avec un débit massique
.
On note
la masse initiale de la fusée (comprenant celle des gaz initiale).
On définit le système fermé suivant :
A l'instant
: la fusée de masse
et de vitesse
, donc de quantité de mouvement : 
A l'instant
: la fusée de masse
(avec
), de vitesse
et le sable de masse
et de vitesse, par rapport au sol,
.La quantité de mouvement de ce système est alors : (au 1er ordre)
La variation de quantité de mouvement de ce système est alors :
Le théorème de la résultante cinétique donne alors : (en remarquant que
)
Soit :
Le terme
apparaît comme une force supplémentaire qui s'exerce sur le système ouvert "La fusée". C'est la force de poussée.
La masse de la fusée vaut :
Par conséquent :
Soit :
Exemple : Vidéo : "Propulsion à l'aide d'un extincteur"
Simulation : Animations JAVA de JJ.Rousseau (Université du Mans)
Principe des fusées : cliquer ICI
