Structure du champ électromagnétique dans le vide
Méthode : Les opérateurs vectoriels pour des OPPH en notation complexe
Compte tenu du choix de la notation complexe, les opérateurs vectoriels se simplifient.
Avec :
\(\vec E = {\vec E_0}\exp (i(\omega t - \vec k.\vec u)) = {\vec E_0}\exp (i(\omega t - {k_x}x - {k_y}y - {k_z}z)\)
Il vient :
\(div\;\underline {\vec E} = \frac{{\partial {{\underline E }_x}}}{{\partial x}} + \frac{{\partial {{\underline E }_y}}}{{\partial y}} + \frac{{\partial {{\underline E }_z}}}{{\partial z}} = - i{k_x}{\underline E _x} - i{k_y}{\underline E _y} - i{k_z}{\underline E _z} = - i\;\vec k.\underline {\vec E}\)
De même :
\(\overrightarrow {rot} \;\underline {\vec E} = - i\;\vec k \wedge \underline {\vec E} \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;et\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\Delta \underline {\vec E} = - {k^2}\underline {\vec E}\)
On peut finalement remarquer que l'opérateur nabla est équivalent à :
\(\vec \nabla = -i\vec k\)
Les quatre équations de Maxwell deviennent ensuite :
\(div\;\underline {\vec E} = - i\;\vec k.\underline {\vec E} = 0\;\;\;\;;\;\;\;\;div\;\underline {\vec B} = - i\;\vec k.\underline {\vec B} = 0\)
Et :
\(\overrightarrow {rot} \;\underline {\vec E} = - i\;\vec k \wedge \underline {\vec E} = - (i\omega \underline {\vec B} )\;\;\;\;;\;\;\;\;\overrightarrow {rot} \;\underline {\vec B} = - i\;\vec k \wedge \underline {\vec B} = \frac{1}{{{c^2}}}(i\omega \underline {\vec E} )\)
Fondamental : Structure du champ électromagnétique dans le vide
Les équations de Maxwell écrites précédemment donne par exemple :
\(\vec k.\underline {\vec E} = 0\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;et\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\vec k.\underline {\vec B} = 0\;\)
Ainsi, les coordonnées du champ EM parallèles à la direction de propagation sont nulles : le champ EM est transversal.
On obtient également, à partir de l'équation de Maxwell-Faraday :
\(\underline {\vec B} = \frac{{\vec k}}{\omega } \wedge \underline {\vec E} = \frac{1}{c}\vec u \wedge \underline {\vec E}\)
Finalement, les champ EM d'une onde plane progressive sont orthogonaux à la direction de propagation et orthogonaux entre eux.
Le trièdre \((\vec E,\vec B,\vec c=c\vec u)\) est direct et \(E=Bc\).
Remarque : Remarques importantes :
La relation de structure d'une onde plane :
\(\underline {\vec B} = \frac{{\vec k}}{\omega } \wedge \underline {\vec E} = \frac{1}{c}\vec u \wedge \underline {\vec E}\)
n'est vérifiée évidemment que par des ondes planes monochromatiques harmoniques.
Notamment, lorsque l'amplitude de l'onde dépendra des coordonnées d'espace x ou y, la relation entre le champ \(\vec E\) et le champ \(\vec B\) sera différente.
Force de Lorentz :
La force exercée par l'onde EM sur une particule de charge q et de vitesse \(vec v\) est :
\(\vec f = q\;\vec E + q\;\vec v \wedge \vec B = {\vec f_e} + {\vec f_m}\)
Par conséquent, le rapport de la force électrique sur la force magnétique vaut :
\(\frac{{{f_e}}}{{{f_m}}} = \frac{E}{{vB}} = \frac{c}{v}\)
Par conséquent, pour une particule non relativiste (\(v<<c\)), la force magnétique est négligeable vis-à-vis de la force électrique.