Ondes EM stationnaires dans le vide
Complément : Solution de l'équation de d'Alembert sous forme d'ondes stationnaires
On cherche des solutions de l'équation de d'Alembert de la forme (méthode de séparation des variables) :
\(s(z,t) = f(z)\;g(t)\)
En substituant dans l'équation de d'Alembert :
\(\frac{{{\partial ^2}s}}{{\partial {z^2}}} - \frac{1}{{{c^2}}}\frac{{{\partial ^2}s}}{{\partial {t^2}}} = 0\)
Il vient :
\(f"(z)g(t) - \frac{1}{{{c^2}}}f(z)\ddot g(t) = 0\)
D'où :
\(\frac{1}{{f(z)}}f"(z) = \frac{1}{{{c^2}}}\frac{{\ddot g(t)}}{{g(t)}} = cste = K\)
On obtient ainsi deux équations différentielles :
\(\frac{1}{{f(z)}}f''(z) = K\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;et\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\frac{1}{{{c^2}}}\frac{{\ddot g(t)}}{{g(t)}} = K\)
Ou encore :
\(f''(z) - Kf(z) = 0\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;et\;\;\;\;\;\;\;\;\;\ddot g(t) - {c^2}Kg(t) = 0\)
Si \(K>0\), la solution de la deuxième équation différentielle est de la forme :
\(g(t) = A{e^{c\sqrt K \;t}} + B{e^{ - c\sqrt K \;t}}\)
Cette solution est à rejeter : en effet, elle correspond soit à une solution divergente soit à une solution transitoire.
Dans la suite, on suppose \(K<0\) ; alors, en posant \(- {c^2}K = {\omega ^2}\) :
\(g(t) = A\;\cos (\omega t - \phi )\)
La 1ère équation donne alors :
\(f''(z) + \frac{{{\omega ^2}}}{{{c^2}}}f(z) = 0\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;soit\;\;\;\;\;\;\;\;\;f(z) = B\;\cos \left( {\frac{\omega }{c}z - \psi } \right)\)
La solution globale de l'équation de d'Alembert est alors :
\(s(z,t) = C\;\cos \left( {\frac{\omega }{c}z - \psi } \right)\;\cos \left( {\omega t - \phi } \right)\)
On pose dans la suite \(k=\omega/c\), alors :
\(s(z,t) = C\;\cos \left( {kz - \psi } \right)\;\cos \left( {\omega t - \phi } \right)\)
Ce type de solutions, appelé onde plane stationnaire est très différent d'une onde plane progressive : les dépendances spatiale et temporelle interviennent séparément ; la dépendance spatiale intervient dans l'amplitude de l'oscillation temporelle et non plus dans la phase, de telle sorte que tous les points de la corde vibrent en phase ou en opposition de phase.
L'allure de la corde à différents instants est représentée sur la figure suivante.
Certains points de la corde sont fixes et sont appelés nœuds de vibrations ; d'autres ont une amplitude de vibration maximale et sont appelés ventres de vibrations.
La distance entre deux nœuds successifs est égale à \(\lambda/2\).
La distance entre deux ventres successifs est égale à \(\lambda/2\).
La distance entre un nœud et un ventre successif est égale à \(\lambda/4\).