Ondes EM dans le vide : propagation de l'énergie

FondamentalPropagation de l'énergie

Les résultats qui suivent sont valables pour une onde plane progressive, non forcément sinusoïdale (ou harmonique).

La densité d'énergie \(u_{em}\) pour une onde plane progressive vaut :

\({u_{em}} = \frac{1}{2}{\varepsilon _0}{\vec E^2} + \frac{1}{{2{\mu _0}}}{\vec B^2}\)

Compte tenu de \(E=Bc\), il vient (et avec \(c=1/\sqrt{\varepsilon_0 \mu_0}\)) :

\({u_{em}} = {\varepsilon _0}{\vec E^2} = \frac{1}{{{\mu _0}}}{\vec B^2}\)

On remarque qu'il y a équipartition des contributions électrique et magnétique à cette densité d'énergie.

Le vecteur de Poynting vaut :

\(\vec \Pi = \frac{{\vec E \wedge \vec B}}{{{\mu _0}}}\)

Soit, avec \(\vec B = \frac{{{{\vec u}_z}}}{c} \wedge \vec E\) :

\(\vec \Pi = \frac{1}{{c{\mu _0}}}\vec E \wedge ({\vec u_z} \wedge \vec E) = \frac{1}{{c{\mu _0}}}{\vec E^2}\;{\vec u_z}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(car\;\vec E.\;{\vec u_z} = 0)\)

Finalement :

\(\vec \Pi = {\varepsilon _0}c\;{\vec E^2}\;{\vec u_z} = c{u_{em}}\;{\vec u_z}\)

Le vecteur de Poynting est bien colinéaire à la direction de propagation ; si l'on revient à la définition du vecteur densité de courant :

\(\vec j = \rho \vec v\)

correspondant à un mouvement d'ensemble de charges de densité \(\rho\) à la vitesse \(\vec v\), on constate que la relation \(\vec \Pi = c{u_{em}}\;{\vec u_z}\) exprime simplement que l'onde EM plane progressive dans le vide transporte l'énergie dans sa propre direction de propagation et avec une vitesse égale à sa célérité \(c\) (\({\vec v_{em}} = \vec \Pi /{u_{EM}} = c{\vec u_z}\)).

Remarque (vitesse de propagation de l'énergie) :

On peut retrouver ce résultat en considérant le cylindre de section droite (S) et de génératrices de longueur \(v_{em}dt\) parallèles à la direction de propagation.

L'énergie qui va traverser cette surface pendant dt est alors \(u_{em}v_{em}Sdt\).

Elle est par ailleurs égale au flux du vecteur de Poynting (multiplié par dt), soit :

\({u_{em}}{v_{em}}Sdt = \Pi Sdt\;\;\;\;\;\;\;soit\;\;\;\;\;\;\;{v_{em}} = \frac{\Pi }{{{u_{em}}}} = c\)

ComplémentVecteur de Poynting moyen et puissance moyenne reçue par un détecteur :

Les ondes EM ont généralement des fréquences élevées.

Les détecteurs ne sont souvent sensibles qu'aux valeurs moyennes temporelles de la puissance qu'ils reçoivent.

Ainsi, la puissance moyenne reçue par un détecteur dont la surface S est perpendiculaire à la direction de propagation est :

\({P_m} = \left\langle {\vec \Pi } \right\rangle .S\;{\vec u_z} = \left\langle \Pi \right\rangle .S\)

\(\left\langle \Pi \right\rangle\) désigne la valeur algébrique du vecteur de Poynting moyen, égale à :

\(\left\langle \Pi \right\rangle = {\varepsilon _0}c\;\left\langle {{E^2}} \right\rangle\)

Pour un champ électrique de la forme :

\(E = {E_0}\cos (\omega t - \vec k.\vec r - {\phi _0})\)

\(\left\langle {{E^2}} \right\rangle = \frac{{E_0^2}}{2}\)

Et ainsi :

\(\left\langle \Pi \right\rangle = {\varepsilon _0}c\frac{{\;E_0^2}}{2}\)

MéthodeUtilisation de la notation complexe pour la puissance :

Si \(\underline f\) et \(\underline g\) sont deux fonctions sinusoïdales en notation complexe, alors la partie réelle moyenne du produit fg est :

\(\left\langle {fg} \right\rangle = \frac{1}{2}{\mathop{\rm Re}\nolimits} (\underline f .\underline {{g^*})}\)

\(\underline g^*\) est le conjugué de \(\underline g\).

On peut notamment appliquer cette formule pour calculer la puissance moyenne en électricité :

\(P = \left\langle {ui} \right\rangle = \frac{1}{2}{\mathop{\rm Re}\nolimits} (\underline u .{\underline i ^*}) = \frac{1}{2}{U_m}{I_m}\cos \phi = {U_e}{I_e}\cos \phi\)

La valeur moyenne de la densité d'énergie EM est alors :

\(\left\langle {{e_{em}}} \right\rangle = \frac{1}{2}\left( {{\varepsilon _0}\frac{1}{2}{\mathop{\rm Re}\nolimits} (\underline {\vec E} .{{\underline {\vec E} }^*}) + \frac{1}{{{\mu _0}}}\frac{1}{2}{\mathop{\rm Re}\nolimits} (\underline {\vec B} .{{\underline {\vec B} }^*})} \right)\)

Soit :

\(\left\langle {{e_{em}}} \right\rangle = \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{2}{\varepsilon _0}E_0^2 + \frac{1}{{2{\mu _0}}}B_0^2} \right) = \frac{1}{2}{\varepsilon _0}E_0^2\)

La valeur moyenne du vecteur de Poynting se calcule de la même manière :

\(\left\langle {\vec \Pi } \right\rangle = \frac{1}{2}{\mathop{\rm Re}\nolimits} (\frac{1}{{{\mu _0}}}\underline {\vec E} \wedge {\underline {\vec B} ^*}) = \frac{1}{{2{\mu _0}}}{\mathop{\rm Re}\nolimits} (\underline {\vec E} \wedge (\frac{{\vec u}}{c} \wedge {\underline {\vec E} ^*}))\)

Soit :

\(\left\langle {\vec \Pi } \right\rangle = \frac{1}{{2c{\mu _0}}}{\mathop{\rm Re}\nolimits} (\underline {\vec E} .{\underline {\vec E} ^*}\vec u - \underline {\vec E} .\vec u{\underline {\vec E} ^*}) = \frac{1}{2}{\varepsilon _0}cE_0^2\vec u\)

ExempleQuelques ordres de grandeur :

  • Amplitudes des champs EM d'un faisceau laser :

    Un laser hélium-néon émet un faisceau cylindrique de section droite \(1\;mm^2\) et de puissance 1 mW.

    Il produit une onde polarisée rectilignement.

    Déterminer l'amplitude des champs EM.

    L'onde est quasi-plane sinusoïdale car la largeur du faisceau est bien supérieure à la longueur d'onde.

    Les champs EM valent :

    \({E_0} = \sqrt {\frac{{2{\mu _0}cP}}{S}} = {8,7.10^2}V.{m^{ - 1}}\;\;\;\;\;\;\;;\;\;\;\;\;\;\;{B_0} = \frac{{{E_0}}}{c} = {2,9.10^{ - 6}}T\)

  • Émission d'une station radio :

    Une source d'onde EM monochromatique (E) située dans une plaine émet un rayonnement isotrope polarisé rectilignement de puissance 1 MW.

    Calculer l'amplitude du champ électrique à la distance r puis à 1 000 km.

    On trouve :

    \({E_0} = \sqrt {\frac{{{\mu _0}cP}}{\pi }} \frac{1}{r} = {1,1.10^4}\frac{1}{r}\;V.{m^{ - 1}}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;({1,1.10^{ - 2}}V.{m^{ - 1}}\;pour\;1\;000\;km)\)