Écoulement d'un fluide visqueux sur un plan incliné
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Une solution détaillée vous est ensuite proposée.
On considère l'écoulement permanent d'une couche de fluide incompressible et visqueux, de hauteur h, sur un plan incliné. On suppose l'écoulement unidimensionnel : le champ des vitesses sera parallèle à l'axe Ox et ne dépendra que de la variable z.
A la surface libre, la pression est uniforme et vaut P0.
La masse volumique du fluide, supposé newtonien, est ρ et sa viscosité
.
On admettra qu'à cause de la faible viscosité de l'air au-dessus du fluide, il n'y a pas de contrainte tangentielle en z = h.
On donne l'équation de Navier - Stokes pour un fluide newtonien :
Question
Simplifier et projeter l'équation de Navier-Stokes.
En régime permanent :
L'accélération convective vaut, avec les hypothèses de l'énoncé :
Par conséquent :
Question
Déterminer le champ des vitesses
en tenant compte des conditions aux limites.
L'équation précédente donne, en projection : (et P ne dépend pas de y)
La deuxième équation donne par intégration :
La 1ère devient alors, en remarquant que
:
La vitesse est nulle en z = 0 et l'air n'exerce pas de force tangentielle sur le liquide en z = h, par conséquent
en z = h. Ainsi :
On obtient un profil de vitesses de type parabolique, avec un maximum en z = h.
Question
On s'intéresse à un écoulement de largeur L selon l'axe Oy, avec L >> h, pour pouvoir négliger les effets de bord. Calculer le débit volumique DV et en déduire la vitesse moyenne du fluide.
Le débit volumique vaut :
Et la vitesse moyenne de l'écoulement est :
Question
On s'intéresse à une couche de glycérine pour laquelle :
et
et d'épaisseur 1 mm. L'angle θ vaut 10°. Calculer la vitesse moyenne et commenter le résultat en utilisant le nombre de Reynolds.
On obtient :
Et le nombre de Reynolds est :
Les forces de viscosité sont bien suffisantes pour imposer un champ des vitesses laminaire.
