L'expérience de Rüchardt
Consacrer 20 minutes de préparation à cet exercice.
Puis, si vous manquez d'idée pour débuter, consultez l'indice fourni et recommencez à chercher.
Une solution détaillée vous est ensuite proposée.
Si vous avez des questions complémentaires, n'hésitez pas à les poser sur le forum.
La méthode de Rüchardt permet de déterminer le rapport
des capacités thermiques d'un gaz parfait à pression et à volume constants, en étudiant (voir figure) le mouvement d'une bille dans un tube en verre.
La bille métallique, de diamètre très voisin de celui du tube, se comporte comme un piston étanche.
On néglige les frottements.
Lorsqu'on lâche la bille dans le tube de section s, on observe des oscillations autour d'une position d'équilibre.
La méthode consiste à mesurer la période des oscillations
de la bille dans le tube ou, ce qui est équivalent, la période des oscillations de la pression de l'air contenu à l'intérieur de la bouteille.
Pour cela, on enregistre la pression à l'aide d'un capteur de pression pendant environ 25 s.
L'air est assimilé à un gaz parfait.
On note x la position du centre de la bille à l'instant t (l'origine x = 0 est choisie à la position d'équilibre de la bille) ; T et P désignent la température et la pression de l'air à l'intérieur de la bouteille.
Données :
m = 20 g (masse de la bille), P0 = 1 bar et T0 = 293 K (pression et température de l'air atmosphérique), s = 2 cm2 (section intérieure du tube), g = 9,8 m.s-2 (champ de pesanteur terrestre) et V0 = 10 L (volume total, pour x = 0).
Une simulation java de cette expérience (JJ Rousseau) : cliquer ICI
Question
En appliquant le théorème du centre d'inertie à la bille, établir l'équation différentielle du mouvement de la bille.
Quelle est la pression Péq à l'équilibre ?
Le théorème du centre d'inertie appliqué à la bille dans le référentiel du laboratoire supposé galiléen s'écrit, en projection sur (Ox) :
Soit, avec
:
Question
D'un point de vue thermodynamique, les compressions et détentes du gaz à l'intérieur de la bouteille sont considérées comme pratiquement réversibles et adiabatiques.
Les écarts de pression et de volume étant faibles, on approxime dV par
et dP par
.
En déduire alors
en fonction de x.
On suppose que la bille oscille suffisamment rapidement pour que l'air compris dans la bouteille n'ait pas le temps de recevoir de transfert thermique de la part de l'extérieur (mais néanmoins suffisamment lentement pour que cette transformation puisse être considérée comme étant réversible !). Au bout du compte, la transformation est considérée comme adiabatique réversible (soit isentropique). Par conséquent, la loi de Laplace est applicable et s'écrit :
Ou, sous forme différentielle :
Soit ici :
D'où :
Question
Déterminer l'équation différentielle vérifiée par la variable x.
Quelle est la période
des oscillations de pression ?
On mesure
. Déterminer la valeur de
.
Commenter la valeur obtenue.
Quels peuvent être les problèmes d'ordre expérimental rencontrés ?
L'équation différentielle du mouvement de la bille devient alors :
D'où :
C'est l'équation différentielle caractéristique d'un oscillateur harmonique de pulsation :
Et de période :
Le coefficient
s'exprime donc en fonction de la période mesurée des oscillations de pression dans la bouteille :
Application numérique :
On trouve
. La valeur expérimentale obtenue est conforme à la valeur théorique attendue (soit
) pour l'air qui est composé de molécules diatomiques (dioxygène et diazote).
La méthode expérimentale proposée dans cet exercice a été développée initialement par le physicien Rüchardt en 1929.
Cette méthode a ses limites car elle repose sur trois hypothèses (gaz assimilé à un gaz parfait, frottements négligeables entre la bille et le tube de la bouteille et transformations adiabatiques réversibles du gaz) qui ne sont pas nécessairement vérifiées.
