Un MOOC pour la Physique

Vitesse de groupe d'un paquet d'ondes

ExemplePropagation de deux ondes planes progressives harmoniques de fréquences voisines

On suppose que le vecteur d'onde est réel (on ne prend pas en compte l'absorption).

Soient et les vecteurs d'onde réels des deux ondes.

On suppose que les pulsations et sont proches et l'on pose :

Avec et .

On suppose de plus que les deux ondes ont même amplitude.

L'onde résultante, superposition de deux ondes, a pour amplitude :

Vitesse de phase et vitesse de groupe

On observe des battements (figure du bas) : une onde moyenne de vecteur d'onde est enveloppée par une onde enveloppe de vecteur d'onde .

Au cours du temps, l'onde moyenne (celle du haut sur la figure) constitue une onde plane progressive de vitesse  alors que l'onde enveloppe (celle du milieu) constitue une onde plane progressive de vitesse .

Ces vitesses n'étant en général pas identiques, les crêtes de l'onde moyenne avancent à une vitesse différente de celle des crêtes de l'onde enveloppe.

FondamentalGénéralisation au cas d'un paquet d'ondes

On appelle paquet d'ondes un ensemble d'ondes planes progressives harmoniques de pulsations voisines.

Plus précisément, leurs pulsations sont comprises dans l'intervalle , avec .

Paquet d'ondes

L'onde résultante peut s'écrire sous la forme d'une intégrale de Fourier :

où l'amplitude ne prend de valeurs notables que sur l'intervalle .

En faisant un DVL au 1er ordre :

Il vient, en remplaçant  :

Soit :

On pose :

Alors :

On voit ainsi apparaître une onde moyenne de pulsation se propageant à la vitesse de phase :

et une onde enveloppe qui ne dépend que de la variable :

et qui se propage à la vitesse dite de groupe :

Déformation d'un paquet d'ondes

Les vitesses de phase et de groupe sont a priori différentes et le paquet d'ondes se propage en se déformant.

En effet, chacune des composantes monochromatiques du groupe « chemine » avec sa propre vitesse, de telle sorte qu'on observe une déformation du paquet d'ondes tout au long de sa propagation.

On conçoit aussi que cette déformation est accompagnée d'un étalement du paquet d'ondes dû à l'avance croissante prise par les composantes de forte vitesse.

Animation sur un paquet d'ondes gaussien

ComplémentUne vidéo sur la signification de la vitesse de groupe

Une animation sur la vitesse de groupe

AttentionVitesse de phase et vitesse de groupe

Pour une onde réelle, qui est la superposition d'ondes planes progressives monochromatiques se propageant dans un milieu quelconque, il est possible de définir deux vitesses :

  • La vitesse de phase :

    Elle correspond à la vitesse de propagation de la phase d'une composante monochromatique.

    Elle n'a aucune réalité physique, c'est-à-dire ne correspond pas à un transport d'énergie.

  • La vitesse de groupe :

    C'est la vitesse de propagation de l'enveloppe de l'onde.

    On montre qu'elle s'identifie généralement à la vitesse de propagation de l'énergie (ou de l'information).

    Le principe de relativité impose que la vitesse de groupe est inférieure à la vitesse de la lumière dans le vide.

Si dépend effectivement de , alors la phase de chaque onde plane progressive sinusoïdale se propage à sa propre vitesse.

Une onde physique réelle, composée d'ondes planes progressives sinusoïdales, va se déformer au cours de sa propagation : c'est ce qu'on appelle la dispersion.

SimulationAnimations JAVA de JJ.Rousseau (Université du Mans)

  • Paquet d'ondes : cliquer ICI

  • Paquet d'ondes gaussien : cliquer ICI

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