Ailette de refroidissement
(15 minutes de préparation)
On considère un corps solide (B) (par exemple, le boîtier d'un transistor de puissance) qui est à la température T0 supérieure à la température Te de l'air ambiant.
On place, pour refroidir le corps (B), une ailette de refroidissement constituée d'un cylindre de longueur L et de section
.
On se place en régime stationnaire.
On supposera que la température du barreau ne dépend que de la variable x comptée dans le sens de sa longueur, soit
.
L'ailette n'est pas calorifugée et elle subit des pertes sur sa surface latérale donnée par la loi de Newton :
représente la perte d'énergie par unité de surface latérale d'ailette située à l'abscisse x.
On note λ la conductivité thermique de l'ailette.
On suppose que l'ailette a une longueur infinie.
En vidéo, un cours de l’École Centrale de Paris sur une ailette de refroidissement
Question
Déterminer la température T(x) au sein de l'ailette.
Appliquer le 1er principe à un élément d'ailette de longueur dx, en prenant en compte la conduction mais aussi la convection sur la surface latérale.
On applique le premier principe de la thermodynamique a une longueur dx d'ailette :
Soit :
En utilisant la loi de Fourier :
La solution de cette équation différentielle est de la forme :
L'ailette étant de longueur infinie,
:
La condition au limite en x = 0 permet de calculer B :
On constate que la température de l'ailette tend vers celle du milieu environnant lorsque la distance x à l'origine est >> que la distance caractéristique D.
Question
Calculer de deux manières différentes la puissance PF fournie par le boîtier au barreau.
Intérêt de l'ailette de refroidissement : finalement, on peut s'interroger sur la valeur du flux thermique évacué par l'ailette de refroidissement vers l'atmosphère.
On détermine ce flux (ou cette puissance) à l'aide de la loi de Fourier en x = 0.
En effet, en régime permanent, ces deux flux thermiques sont identiques puisque l'ailette cède à l'air ambiant tout ce qu'elle reçoit.
Ainsi, ce flux vaut :
On aurait obtenu le même résultat en intégrant sur toute la surface latérale de la barre le flux conducto-convectif :
Soit :
On retrouve bien la même expression de la puissance.
En l'absence d'ailette, le flux aurait été :
Le rapport de ces deux flux vaut :
Avec des valeurs numériques courantes, ce rapport est de l'ordre de 71 ; on voit bien ici l'intérêt de cette ailette de refroidissement.
