Étude des ondes sonores dans les fluides ("Classe inversée", PC*)

On considère un volume V délimité par une surface fermée S (fixe dans le référentiel d'étude). Soit ρ la masse volumique du fluide.

La masse totale \(M(t)\) comprise dans le volume à l'instant t vaut :

\(M(t) = \iiint_{V}\rho d\tau\)

La conservation de la masse permet d'écrire :

\(\frac{{dM}}{{dt}} = -\oiint_S\vec {j}.\vec{n} \ dS\)

Avec :

\(\vec j = \rho \vec v\)

Par conséquent :

\(\frac{d}{dt}(\iiint_{V}\rho d\tau)\ = - \oiint_S\vec {j}.\vec{n} \ dS\)

Le volume (V) étant fixe :

\(\frac{d}{dt}(\iiint_{V}\rho d\tau)\ =\iiint_{V}\frac{\partial \rho}{\partial t} d\tau\)

Finalement, le principe de conservation de la masse conduit à :

\(\iiint_{V}\frac{\partial \rho}{\partial t} d\tau=- \oiint_S\vec {j}.\vec{n} \ dS\)

En utilisant le théorème de Green-Ostrogradsky :

\(\iiint_{V}\frac{\partial \rho}{\partial t} d\tau=- \oiint_S\vec {j}.\vec{n} \ dS=-\iiint_{V} div\vec{j} \ d\tau\)

Soit :

\(\iiint_{V}(\frac{\partial \rho}{\partial t} +div\vec{j})\ d\tau=0\)

Ce résultat étant vrai pour tout volume (V), il vient :

\(div\vec{j}+\frac{\partial \rho}{\partial t} =0\)

C'est l'équation locale de conservation de la masse.