Le théorème de Bernoulli et ses applications ("Classe inversée", PC*)

Archimède au IIIème siècle av. J.-C, Léonard de Vinci au XVème siècle, Pascal et Torricelli au XVIIème siècle, Bernoulli, Pitot et Euler au 18è siècle, Navier, Poiseuille, Stokes et Reynolds au 19è, Couette, Prandtl ou encore Von Karman au 20ème siècle.

Médecin, physicien et mathématicien, il s'intéresse à la fois aux sciences mathématiques et aux sciences expérimentales et enseigne les mathématiques, l'anatomie, la botanique et la physique.

• Débit volumique :

  On appelle débit volumique \(D_v\) à travers une surface (S) orientée, le volume de fluide qui traverse (S) par unité de temps, compté positivement dans le sens du vecteur normal à la surface et négativement dans le cas contraire.

  Ce débit vaut :

  \(D_v=\iint_{(S)}\vec v.\vec n dS\)

• Débit massique :

  Le débit massique \(D_m\) correspond à la masse de fluide qui traverse (S) par unité de temps, compté positivement dans le sens du vecteur normal à la surface et négativement dans le cas contraire :

  \(D_m=\iint_{(S)} \mu \vec v.\vec n dS = \iint_{(S)}\vec j .\vec n dS\)

  où \(\vec j=\mu \vec v\) est le vecteur densité de courant ou vecteur densité de flux de masse de l'écoulement.

• Si le fluide est incompressible et homogène, donc si la masse volumique est constante et indépendante du point, alors :

  \(D_m=\mu D_v\)

  On peut remarquer que ces débits sont les équivalents de l'intensité électrique, du flux thermique et du débit de particules (vu en diffusion).

• Équation d'Euler pour un écoulement parfait dans un référentiel galiléen :

  \(\mu \;\frac{{\partial \vec v}}{{\partial t}} + \mu \;(\vec v.\overrightarrow {grad} )\;\vec v = - \overrightarrow {grad} P\; + {\vec f_v}\)

  Ou encore :

  \(\mu \;\frac{{\partial \vec v}}{{\partial t}} + \mu \;\overrightarrow {grad} \left( {\frac{{{v^2}}}{2}} \right)\; + \;\mu \;\overrightarrow {rot} (\vec v)\; \wedge \;\vec v = - \overrightarrow {grad} P\; + {\vec f_v}\)

• Dans un référentiel non galiléen :

  Il faut prendre en compte les forces d'inertie d'entraînement et de Coriolis :

  \(\mu \;\frac{{\partial \vec v}}{{\partial t}} + \mu \;(\vec v.\overrightarrow {grad} )\;\vec v = - \overrightarrow {grad} P\; + {\vec f_v}- \rho \vec a(O) - \rho \;\Omega \wedge \left( {\vec \Omega \wedge \overrightarrow {OM} } \right) - 2\rho \;\vec \Omega \wedge \vec v\)

  où \(\vec \Omega\) est le vecteur rotation du référentiel non galiléen (par rapport à un référentiel galiléen de référence) et \(\vec a(O)\) l'accélération de l'origine du référentiel non galiléen par rapport au référentiel galiléen de référence.

• Sur une ligne de courant dans un écoulement parfait, homogène, stationnaire et incompressible :

  Entre deux points A et B d'une même ligne de courant :

  \(\frac{1}{2}\mu \;v_A^2 + \mu \;g{z_A} + {P_A} = \frac{1}{2}\mu \;v_B^2 + \mu \;g{z_B} + {P_B}\)

• Au sein d'un écoulement parfait, homogène, stationnaire, incompressible et irrotationnel :

  \(\frac{1}{2}\mu \;{v^2} + \mu \;gz + P = C\)

La conservation de l'énergie donne, où \(P_m\) désigne la puissance de la pompe :

\(\frac{1}{2}dm\left( {v_2^2 - v_1^2 } \right) + dmg(z_2 - z_1 ) = \delta w_{\Pr ession}+P_mdt = \frac{{dm}}{\rho }(P_1 - P_2 )+\frac{dm}{\rho D_v}P_m\)

On en déduit :

\(D_v \left( {(P_2 - P_1 ) + \frac{1}{2}\rho (v_2^2 - v_1^2 ) + \rho g(z_2 - z_1 )} \right) = P_m\)

La formule de Torricelli est :

\(v=\sqrt{2gh}\)

\(v\) est la vitesse du fluide en sortie du trou et \(h\) la hauteur de liquide au dessus du trou.

Cette formule s'applique rigoureusement quand la hauteur \(h\) est constante. Elle s'applique également dans l'ARQS (\(h\) varie lentement avec le temps).